公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但绝不可能追上它。关于阿基里斯悖论的一个解释是：阿基里斯永远也追不上乌龟。虽然现实中我们知道阿基里斯超越乌龟非常简单，但是它是如何超过乌龟的在过去却一直存在争论。

悖论假设阿基里斯永远只能到达乌龟前一个时间段到达的地方，即追上的是前一个时间段的乌龟，此时条件未发生变化，因此，承认此时间段两者间仍有差异，然后用不同的时间段进行重复换算。假设条件仍未变化，而在此时间段的下一个口径相同的时间段里，阿基米斯就会追上。

其实，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了1000（1+0.1+0.01+……）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟，并超越乌龟。人们认为数列1+0.1+0.01+……是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 （1+0.1+0.01+……）= t (1+1/9)=10t/9，芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上或超过了乌龟。

所以，人们被距离数列1+0.1+0.01+……好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+……是很容易达到和超过的。

其实，在这个证明里，还用到了“极限”这个概念。极限这个概念，正是为了解决阿基里斯悖论而定义出来的一个概念。用这个概念再反证这个悖论很明显是不合理的。无限的细分并不代表不会从时间1流入时间2，否则你的时钟将永远停留在59分59.9999……秒。

阿基里斯能够继续逼近乌龟，在某一时间点之前无法追上。但永远追不上这一结果并不成立，因为这一悖论只引导去考虑追上之前的距离，而不是追上的这一距离。悖论隐含的假设就是阿基里斯没有追上龟，为什么呢？阿基里斯的每一段，都是乌龟跑完了，才让阿基里斯跑的。只是想当然地用了一开始的距离差，而这个距离差为逐段变小。（是否能变成零，就是你说了算）而这个趋近过程又想用时间衡量，恰好时间和距离，都可以无限划分。静止也存在这样的接近过程，举个例子：假设乌龟是静止的，让阿基里斯以这样的方式跑900米，90米，9米，0.9米……，这样他也追不上乌龟，也同样变不成零，因为假设就是距离的无限小，这只是在寻找最短的距离。这个关系就到极限了，就像在找最小的物质粒子一样。

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