本文由公众号 “把科学带回家” 提供

作者 七君

认识这个晕倒的8么：∞

它和8其实不是一个品种，它的本名叫做无穷大，它并不是一个数。

无穷大，很奇怪，5岁的小朋友就能理解，无穷大有多大。比如你随便想出一个数字，总可以再找一个比它大的数字。

可是，无穷大是不是只有一个品种呢？

第一个发现无穷大并不是只有一种的人，进了精神病院。今天我们就来八一八，无穷大的故事。

首先要明白的是，无穷大和8不一样，它不是一个数。

如果它是一个数，那么你只要给它加个1，那么就可以产生一个比它更大的值了。显然，无穷大并不参与你的这种加一游戏，你一要玩这种游戏，它就掉线。

所以，无穷大到底是什么来头？

长久以来，不光普通人闹不明白，数学家们也不敢说自己搞懂了。无穷大好像鬼，人人都听说过它，但是却不理解它，更没有见过它的真面目。

后来，出现了一个银，他开始思考，无穷大这个鬼，会不会也有不同品种的呢？

他做了这样一个思想实验，并且发现，一些无穷大，居然比其他的无穷大还要大。

我们先从简单的讲起。有一种无穷大用人类的大脑还是能理解的，因为和常识比较接近嘛。

比如，

1, 2, 3, 4, 5, 6, ….

这些正整数可以一直延伸到无穷大对吧。

负整数也是一样，

-1, -2, -3, -4, -5, -6, ….

随便你说一个整数，不管它有多大，只要你愿意写，就可以一直写到这个整数。换句话说，任意整数都可以被你安排到上面这列数字里。

因此，列出这些无穷多个数字的集合，叫做可数无穷。

其实，分数也属于可数无穷哦。

比如我们做这样一个表出来，

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, …

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, …

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, …

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/7, …

5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, 5/6, 5/7, …

...

随便你想到一个什么样的分数，它都可以在上面这个表里被找到，所以分数也属于可数无穷。

好的，那么，你能用同样的方法，做出0-1之间所有的有理数和无理数的数列，或者表格么？

如果你觉得可以，那我们来试试下面这个例子。

假设你列出了所有0-1之间的数，如下：

0.82705736…

0.31023865…

0.62087906…

0.55293091…

0.75235073…

…

我们现在就来证明，我总是可以造出一个0-1之间的数，而且它绝对不在你列的这些无穷多的数里面。

我是这样干的，我取0.82705736…的8，0.31023865…的1…

也就是画一条对角线，取出这条对角线和你列出的这些数相交的部分，组成一个新的数，也就是0.81095…

现在我用这个0.81095…干这样一件事，我把里面的1改成2，非1的数改成1，所以这个数就变成了：

0.12111…

这个数有什么奇怪的呢？奇怪就奇怪在，它肯定不在上面你列的那无穷多的数里面。

我们来证明一下。比如，

0.12111…的小数点后第1位（1）和你的第1个数0.82805736…的小数点后第1位的8不一样…

它的第2位（2）和你的第2个数0.31023865…的小数点后第2位的1不一样…

它的第3位（1）和你的第3个数0.62087906…的小数点后第3位的0不一样…

…

实际上，如果你说我造出的数和你的第N个数一样，你喊你的那个第N个数出来，它敢答应吗？

根据我设定的规则，我造的数的小数点后的第N位，就是和你的第N个数的小数点后第N位不一样，它当然不敢动啊。

当然，除了我设定的这种造数规则，还有其他各种各样的规则，可以把0.81095…变成列表里没有的数。

所以，0-1之间的数，不是可数无穷。这个无穷大，比自然数的无穷大可要大多了，因为自然数的无穷大还可以被你列表，但是0-1之间的数却永远没办法列出来。

那就给这样的无穷大取个名字呗，就叫不可数无穷吧。

当然，发现无穷大还可以这样玩的人，并不像我这样开心。

这个人，是个战斗种族裔，在自带不开心的种族属性的德意志受的教育。他的名字，叫做格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）。

格奥尔格·康托尔

他是在1874年的时候发现了无穷大的野生品种这个秘密的，并且为现代数学的一个核心——集合论打下了基础。

不过，当时的数学家们各种不适应无穷大新品种的概念，他们各种嘲笑康托尔，说他是个大PI YAN ZI。

同时期的数学家有多么不理解他的研究呢？

比如，法国最伟大的数学家之一庞加莱这样评价康托尔的集合论：“后世的人会把集合论看作一个人曾经生过的一场病。”

又比如，1881年哈勒－维腾贝格大学（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的数学家爱德华·海涅（Eduard Heine）去世后，康托尔推荐了3个数学家顶替他的位子，分别是理查德·戴德金（Richard Dedekind）、安里西·韦伯（Heinrich Weber）、弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）。但好死不死，这3个人都拒绝了康托尔的提名，不肯过来。

别说德高望重的的数学家的隔空放炮，就连身边的多年好友也不理解自己。

1885年，他多年的好友、瑞典数学家哥斯塔·米塔-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）变成了高级黑，劝他把一篇论文从顶级数学期刊——《数学学报》（Acta Mathematica）上撤稿，理由是这篇文章“早了100年”。

就连他常年的好友、数学家赫尔曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）和戴德金也为了避嫌而分别在1880年和1882年和康托尔中断了往来。

搞到后来，同时代的大佬哲学家，比如维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）都蹦出来添乱，说康托尔的集合论挑战了他们对上帝的看法，简直大不敬。

维特根斯坦

公元前5世纪，毕达哥拉斯的门徒希帕索斯（Hippasus）发现根号2是无理数，证明毕达哥拉斯学派所认为的“所有数都是有理数”的看法是错的。

死人是不能出卖这个秘密的，因此毕达哥拉斯的其他门徒把希帕索斯丢到海里淹死了，史称第一次数学危机…

而在两千年后，发现了2个有理数之间夹着无穷多无理数的康托尔，就这样，在这些数学家们的强烈鄙视和一连串暴击之下，在1884年被生生地怼抑郁了，在人生的最后阶段都不想搞数学了，一心一意地扑在莎士比亚和弗兰西斯·培根之间的关系上。

最后，康托尔住进了德国哈勒的精神病院，并且死在了那里。

好在死后又过了数十年，康托尔终于被平反。

曾经骂他渎神的维特根斯坦也良心发现，亲自撰文哀悼，说当时学术界指责集合论的说法是“可笑”、“错误”的“无稽之谈”。

德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）挥一挥手，人都被你们逼死了，你们都憋说了：

“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”(Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.)

所以，看不懂无穷大又有什么关系呢...你只不过犯了和庞加莱、戴德金、维特根斯坦...一样的错。你总是可以找到犯了这个错的人，而且TA不在前面这串人名里。