代数、几何曾是数学的两大分支，研究数的部分是代数学的范畴，研究形的部分，自然是属于几何学的范畴。再要深究，还有联结形与数且涉及极限的部分，这就是分析学，这三大类是整个数学的核心。

代数很好理解，数学，顾名思义，自然与数是息息相关的。那么，几何呢？有着怎么样的历史呢？又有哪些分类呢？

约在公元前4世纪左右，欧几里得——古希腊伟大的数学家，就着手处理一些人们公认的一些几何知识，并在基础上研究了图形的性质，推导演绎出了若干定理，写了《几何原本》，这就是所谓的欧氏几何。

欧式几何五公设和五定理，大多数人都有所耳闻。先解释一下公设和定理的概念。

所谓公理或公设，就是“不证自明”的命题，是一个演绎系统中，不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题。公理或是公设是一门学科中的基础，必须依赖于它，学科大楼才能拔地而起。

而定理相较于公设就要弱一些，只是已经证明了的具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，比如几何定理。

《几何原本》中的5公设：

1. 由任意一点到任意一点可作直线。

2. 一条有限直线可以继续延长。

3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。

4. 凡直角都相等。

5．若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

五公设推出五条定理，五定理表述更加简单明了，分别是“等于同量的量彼此相等”、“等量加等量，其和仍相等”、“等量减等量，其差仍相等”、“彼此能够重合的物体是全等的”、“整体大于部分”。

在这五条公设中，前四条是简单明了，第五条就显得啰嗦了不少，结论也没那么显然易见。细心的学者发现，在《几何原本》中，欧几里得直到第二十九条命题才使用第五公设，也就是说，不依靠第五公设就已经能推出前二十八个命题了。而且二十九命题之后也没使用过第五公设。如此看来，将其置于公设的位置未免有些浪费，能不能降个档次，作为定理使用呢？

这就是几何史上著名的“平行线理论”，这一争议持续了很久，长达两千多年，并引出了非欧几何学这一门分支。顾名思义，非欧几何自然指的是一切和欧几里得几何不同的几何学，通常意义下，指的是罗氏几何和黎曼几何这两种。狭义意义下，非欧几何即罗氏几何。

罗氏指的是俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基，对于颇具争议的第五公设，他兴趣很浓，一直想给出合理的证明，他另辟蹊径，选择了另一条路子，利用了反证法的思想去证明：先是提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用其代替第五公设，和前四个公设一起成为一个新的公理系统，并进行了一系列的推理。如果证明过程中出现了矛盾，那就说明第五条公设是正确的。

思路是正确的，严谨细致的罗巴切夫斯基开始了一个又一个的推理，得出了一个又一个命题，这些命题中有的令人匪夷所思，有的较容易理解，最后，罗巴切夫斯基得出了结论：第五公设无法被证明。

看似所有的付出如一江春水逝去，断了头绪，然而并非如此，收货了新的理论几何学——罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。

非欧几何像欧式几何一样，是完善的、严密的几何学。无独有偶，就在罗氏几何被创立的同一时期，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设是不可证明，以及“非欧几何学”的存在。

虽然现在在我们看来，非欧几何一个新兴理论的出现是件让人兴奋的事情，然而，当时，鲍耶·雅诺什的处境并不乐观。不仅社会上一片冷言冷语，家里人也不支持他，即使是同样身为数学家的父亲——鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设完全是耗费精力，劳而无功的事情。看到自己的研究成果不受重视，就连父亲也强力劝他放弃研究，鲍耶·雅诺什没有说什么，仍然坚持着自己的理想，为发展新的几何学而继续工作，一刻也没有放弃对学说的追求。功夫不负有心人，1832年，鲍耶·雅诺什的研究结果终于得以面世，但是仍不被尊重，只是发表在他父亲的一本著作的附录里。

这是不仅是鲍耶的悲哀，也是时代的悲哀，大背景使然，“数学王子”高斯也免不了俗，即使他也发现了第五公设的秘密，并且开始研究非欧几何，但是惧于当时教会力量的迫害，他都不敢公开发表自己的研究成果，更别提站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶。

1854年，德国数学家黎曼又提出一种新几何学，被称为黎曼几何，这也是非欧几何中的一种。罗氏几何和黎曼几何的区别就是三角形内角和比180度大还是小：在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角之和小于180度。而在黎曼几何中，则不能作直线与已知直线平行，三角形的内角之和，且通过直线外一点能够引至少两条直线与已知直线平行，而在黎曼几何中，三角形的内角之和大于180度，并且不能作直线与已知直线平行。

也怨不得大家不承认非欧几何，相较于中规中矩的欧式几何，非欧几何要显得诡异的多。

比如欧式几何中，同一直线的垂线和斜线是相交的，想想显然成立，然而罗氏几何却说同一直线的垂线和斜线不一定相交。欧式几何说“垂直于同一直线的两条直线平行”也是显然可见，然而罗氏几个却唱反调“垂直于同一直线的两条直线，两端无限延长，离散到无穷会相交”，相同的例子还有很多很多。

那么，该怎么去理解非欧几何中这些匪夷所思的说法呢？其实，欧式几何、非欧几何在几何学里的地位类似于牛顿的经典力学和相对论在物理中的地位，成立所需的约束条件是不同的。深究起来，两者的联系不仅是类似，经典力学中的绝对时空观正好对应了欧式几何学的平整不变空间，非欧几何中的空间则是相对变化的，平整空间变成弯曲的，这就正好对应着爱因斯坦所提出的引力扭曲空间的论断。

非欧几何和相对论极好的贴合，让爱因斯坦欣喜，1915年，他引用黎曼几何来描述他的广义相对论空间，获得巨大成功，他还证明了非欧空间是物质运动的一种存在形式。历史终究是公平的，非欧几何最终还是得到的应有的重视。

其实，想要理解非欧几何，可以用个简单的地球仪模型，找到0度和随意一根经线，再找到一根纬线，三线维出的三角形，内角和一定大于180度吧？

至于平行线必相交，也很好理解：地球上赤道处的经度线，在赤道处是平行的，在两极却是相交的。

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