微积分学创立者牛顿

微积分学创立者莱布尼茨

数学知识结构图

微积分的基础公式：牛顿-莱布尼茨公式

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，也是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

通俗地讲，微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

有人曾做过比喻，如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。初等数学所面临的不规则性问题，如任意形状的面积、体积都是无法计算的。变化力、加速度、速度、位移之间的一般关系；温度变化与热量的传输；变化的力做功；带电体周围的电场强度分布、电势分布；转动物体的质量分布对转动的影响……要有效解决这些问题，必须用微积分的方法。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

数学家卡瓦列里、巴斯卡曾初步研究过微积分，科学家牛顿和莱布尼茨则创立了微积分。微积分学的建立，对现代科学产生了巨大的影响。伟大的革命导师马克思和恩格斯都非常重视微积分的创建。恩格斯曾这样赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。”

第一，微积分学促使一些主要教学新分支的诞生，并与之混合有了新的作用。例如，混合线性代数来求得值域中一组数列的“最佳”线性近似。微积分用在概率论中来确定由假设密度方程产生的连续随机变量的概率。在解析几何对方程图像的研究中，微积分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。格林公式连接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分，被设计为求积仪工具，用以量度不规则的平面面积。例如：它可以在设计时计算不规则的花瓣床、游泳池的面积。

牛顿提出微积分后，遭到了许多人的猛烈抨击。牛顿毫无所动，继承和总结了先辈们的思想，作出了自己独到的建树。他把自己的发现称为“流数术”，称连续变化的量为流动量，无限小的时间间隔为瞬，而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分。微分诞生后，科学家们就致力于这些分支的发展。1734年,贝克莱出版了《分析学家：致不信神数学家》的论文，此文审查了近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘，为微积分的分支发展打下坚实的基础。

第二，微积分学的建立，使数学进入“变量数学”时代。随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量。这种变化量的研究，使微积分完善成为一门基础学科。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

第三，微积分学的建立，对数学自身改造起了导向性作用。英国近代生物化学家李约瑟博士认为，数学本身总要改造的，必须使数学本质更接近于物理学，服从于运动，不是从它的“现在”，而是从它的“变化”或“流动”来看问题，微积分就是这种改造运动的最高成就。

微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力,过去许多数学家束手无策的问题,至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程：运动。”

第四，微积分学的建立，推动了其它学科的发展。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括医药、护理、工业工程、商业管理、精算、计算机、统计、人口统计。

物理学大量应用微积分：经典力学、热传和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量，动摩擦力，保守力场的总能量都可用微积分来计算。生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖和死亡率来模拟种群改变。化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退。

在医学领域，微积分可以计算血管最优支角，将血流最大化。通过药物在体内的衰退数据，微积分可以推导出服用量。在核医学中，它可以为治疗肿瘤建立放射输送模型。在经济学中，微积分可以通过计算边际成本和边际利润来确定最大收益。

同样，微积分学对哲学也起了巨大的推动作用。数学和哲学作为两门最古老的学科，从古至今二者都是相互渗透的。从微积分的诞生形成到今天的发展过程中，都充分印证了唯物主义方法论和极限层次的思想，且微积分传统的思想方法中反映出的对立统一、量变与质变、否定之否定等思想也正是哲学中三大辩证法的体现。

微积分学对现代科学产生的影响，用英国著名诗人雪莱的作品形容最为恰当：

一片一片的雪花，

经过暴风的再三筛选，

积成巨大的雪团，

它在阳光的激发下，

形成雪崩。

思想也是这样：

一点一滴地积累在

不怕上帝的人心中，

终于迸发出伟大的真理，

在万国引起回响。

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