数学家斯伊恩·斯图尔特曾出版过一本十分优秀而专业的书，书名为《探索未知：改变世界面貌的17个方程式》。该书审视了有史以来最为关键的公式，并从人类发展而非技术的角度进行了解读。

斯图尔特说：“公式无疑很枯燥，而且似乎看起来也很复杂。但许多人即使不知道如何解公式，也能欣赏公式的简洁、优美和精妙。公式是人类探索与智慧的结晶，也是文化的重要组成部分，其背后的故事—发现和发明公式的人及他们所生活的时代，都是引人入胜的。”

除了广为人知的勾股定理、多面体欧拉公式、爱因斯坦的广义相对论、质能方程及麦克斯韦方程组等如雷贯耳的方程式之外，美国商业内幕（Business Insider）网站在报道中还列出了一些名气并不很大却足以改变历史面貌的公式及其现代应用。

对数及其恒等式

含义：对数可以化乘为加，也就是说，两个数乘积的对数等于这两个数对数的和。

历史：这一概念最初由苏格兰梅奇斯顿的领主约翰·纳皮尔在对大数进行乘法时发现。那时，对大数做乘法不仅繁琐无趣，而且耗时很长，使用这一概念后计算变得更容易而快捷。后来，亨利·布里格斯对其进行了精炼，使之变得更容易计算和使用。

重要性：对数是革命性的，它使工程师和天文学家能更快、更准确地进行计算。随着计算机的问世，该公式似乎不再那么重要，但对科学家来说，它仍然不可或缺。

现代应用:对数以及相对的指数函数，可用来建模，囊括的范围从化合物、生物的生长到放射性衰变。

复 数

含义：我们把形如a+bi（a、b均为实数）这样的数称为复数，其中，a为实部，b为虚部，i为虚数单位（i2=-1）。复数包括实数和虚数，负数的平方根为虚数。当b=0时，复数就是实数；当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数，虚数拓展了数字的概念。

历史：虚数最初由意大利著名的赌徒兼数学家吉罗拉莫·卡尔达诺提出，后由意大利数学家拉法耶尔·蓬贝利和约翰·沃利斯进行拓展，最后，爱尔兰数学家、物理学家及天文学家威廉·哈密顿爵士将复数定义为a+bi。从数学角度而言，虚数和复数简洁优雅。

重要性：如果没有该公式，包括从电灯到数码相机在内的很多现代科技不可能被发明出来。科学家们将微积分扩展到复数，得到了“复变函数”，它对理解电学系统和多种现代数学处理算法必不可少。

现代应用：广泛应用于电子工程学和数学理论。

正态分布

含义：正态分布曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，因此，人们又称之为钟形曲线。

历史：早期研究由法国数学家、物理学家布莱斯·帕斯卡开始，但最终成型由瑞士科学家詹姆斯·伯努利完成；而目前使用的钟形曲线来自比利时数学家阿道夫·凯特勒。

重要性：该公式是现代统计学的基础。没有该公式，科学和社会科学不会以现在的形式出现。

现代应用：在临床试验中，该公式用于确定药物是否足够有效。

傅里叶变换

含义：傅里叶变换是一种线性积分变换，是一种从时间到频率的变化或相互转化。

历史：其基本思想首先由法国数学家、物理学家约瑟夫·傅里叶系统地提出，故以其名字命名，该方程从他著名的热流微分方程和前面描述的波动方程扩展而来。

重要性：傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。该方程可用于对音乐、演讲或图像等复杂的波模式进行分解、清理和分析，对许多类型的信号分析也至关重要。

现代应用：用于将信息压缩为JPEG图像格式、发现分子的结构等。

热力学第二定律

含义：能量和热量随时间的推移而消散。

历史：法国工程师、热力学创始人之一尼古拉·莱昂纳尔·萨迪·卡诺首次提出，自然界不存在可逆转的过程；后来奥地利数学家路德维希·玻尔兹曼拓展了该定律；而英国科学家威廉·汤姆森正式表述了该定律。

重要性：它对于我们通过熵（entropy）的概念来理解能量和宇宙必不可少。热力学中的熵，通俗来说是测量系统混乱程度的量。一个始于一种有序、不均等的状态系统，如一个热区域挨着一个冷区域，热会从热区域流向冷区域直到平均分布。

现代应用：热力学为我们理解化学奠定了基础，在制造任何类型的发电厂或发动机方面不可或缺。

薛定谔方程

含义：又称薛定谔波动方程，描述微观粒子的状态随时间变化的规律。

历史：1924年，法国著名理论物理学家、1929年诺贝尔物理学奖获得者路易·维克多·德布罗意发现，每一种微观粒子都具有波动性与粒子性，这一性质被称为波粒二象性。既然粒子具有波动性，应该有一种能正确描述这种量子性质的波动方程。很快，奥地利科学家埃尔温·薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，推导出现在的薛定谔方程。

重要性：薛定谔方程是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。现代量子力学和广义相对论是历史上最成功的两大科学理论，它彻底改变了微观领域的物理学，迄今我们进行的所有实验观测，都与其预测完全吻合。由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔荣膺1933年诺贝尔物理奖。

现代应用：对大多数现代技术来说，量子力学非常重要，核能、基于半导体的计算机以及激光等，都建立在量子力学的基础之上。

香农的信息论

含义：信息论将信息的传递作为一种统计现象来考虑，给出了估算通信信道容量的方法。

历史：由在贝尔实验室工作的美国工程师克劳德·艾尔伍德·香农提出。1948年，香农发表了一篇名为《通信的数学理论》的专题论文，其中提到了“比特（bit）”，香农称其为“用于测量信息的单位”。在香农眼中，信息和长度，重量这些物理属性一样，是一种可以测量和规范的东西。香农也提出了用信息熵来定量衡量信息的大小，并提出了这个信息熵函数。

重要性：信息熵不仅定量衡量了信息的大小，同时为信息编码提供了理论上的最优值：信息熵为数据无损压缩的极限。

现代应用：香农的信息熵测量引发了科学家们对于信息的数学研究，他的结论对于现在的网络通信至为重要。

逻辑斯蒂增长模型

含义：估算某个拥有有限资源的跨代种群的变化，更重要的是，这一方程式引出了混沌理论。

历史：1975年，罗伯特·梅可能是第一个指出该增长模型可能产生混沌的人。俄罗斯数学家弗拉基米尔·阿诺德和美国数学家斯蒂芬·斯梅尔的重要工作，使人们认识到混沌是微分方程产生的结果。

对于某个值确定的K来说，如果以某个特定的初始值（X）开始，整个事件将朝着一个方向演化；但如果以另外一个初始值开始，即使这个值与前面的值非常接近，整个过程仍然会以完全不同的方式演化。

重要性：有助于混沌理论的发展，这一理论改变了人们对自然系统工作方式的理解。

现代应用：用于模拟地震和预测天气。

布莱克-斯科尔斯期权定价模型

含义：对衍生品定价基于一个假设：它无风险，而且定价正确时不存在套利机会。

历史：美国经济学家费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯建立了模型，美国经济学家罗伯特·莫顿进行了拓展，斯科尔斯和莫顿两人后来获得了1997年诺贝尔经济学奖。

重要性：帮助创建了现在上万亿美元的衍生品交易市场。不过，有人辩称，不当使用这一公式（及其推论）导致了金融危机。尤为重要的是，该方程式中的几个假设，比如对股价分布和连续交易的假设并不适合真实的金融市场；此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。

现代应用：即便是金融危机之后，仍有更多的拓展模型被用于对大多数衍生品进行定价。