科普中国——科学原理一点通

    1. 问题的提出:

    如图1,某旅行者在在如图所示的棋盘路网上从某地O向某地A,行走方向为向右或向上行走. 问,该旅行者的不同的行走路线有多少种?由O地到对角线BC上的路线数目有多少?

图1

    2. 问题的解决:

    问题1:该旅行者的不同的行走路线有多少种?

    如图2,由题意,每个路口标出的数字,是该旅行者从某地O走到该路口的路线数目.

图2

    能否直接计算出从某地O走到该路口的路线数目呢?

    不妨设表示走到第行,第j列交叉路口的路线数目,其中.

    具体地,表示走到第2行,第3列交叉路口的路线数目,也可以看作由2个“-”,3个“|”所组成的排列数,即. 一般地,可得.

    问题2:如图3,由O地到对角线BC上的路线数目有多少?

图3

    由O地到对角线BC上的路线可以构成杨辉有向图,由计数原理中的乘法原理直接计算可知共有种. 当然也可以一一计算,可得…. 一般地,由O地出发,走到这条直线上的路线共有种.

    3. 如何理解这些数字呢?这个数表呢?

    ⑴ 杨辉三角

    可以看到图中的数字恰为杨辉三角,如图4. 早在1261年,杨辉就在《详解九章算法》一书中提出了二项式系数的三角形排法,即杨辉三角. 法国数学家帕斯卡在17世纪也建立了二项式系数的表示法.

图4

    ⑵ 折线距离

    行走方向为向右或向上行走,在网格路线中可以使行走距离最短,这个最短距离也称为“折线距离”. 注意,由O地出发走到第2行、第3列交叉路口的路线数目为10,走到这条直线上的路线共有种. 而由O地出发走到第2行、第3列交叉路口,或这条直线上的“折线距离”均为5.

    ⑶ 概率解释

    由O地出发,每走一个路口就休息一次,休息5次时,恰好走到第2行,第3列交叉路口的概率是多少呢?

    1956年,我国现代数学家华罗庚教授从概率论的角度对杨辉三角进行了解释. 在一块竖起的木板上粘帖上一此全等的正六边形木块,相邻的木块间留有一条等距的细缝,可以让上面落下的小球通过,最下面是一此长方形的盒子,如图5.

图5

    从顶上竖直细缝开始,小球可以左右等右能的落到下一层两个细缝之一. 由概率论知识可得,小球落入第二层两个竖直细缝的可能性(概率)为;小球落入第三层三个竖直细缝的可能性(概率)从左至右依次为;小球落入第四层四个竖直细缝的可能性(概率)从左至右依次为;归纳可知,小球落入第个竖直细缝的可能性(概率)从左至右依次为,…,.

    所以休息5次时,恰好走到第2行,第3列交叉路口的概率是.

    上述实验国外数学家高尔顿也做了类似实验,称为高尔顿钉板.

    ⑷ 更上一层楼:

    上面我们领略了杨辉三角形的魅力,我们还有何感受呢?

    我们知道,线段是1维几何图形,有2个0维的端点,;三角形是2维的图形,有3个0维的端点,有3个1维的线段,1个2维的三角形区域;四面体(三棱锥)是3维的图形,有4个0维的端点,有6个1维的棱,4个2维的三角形区域,1个三维的的几何体. 如图:

    表中的数学恰好是杨辉三角的一部分. 下一行是什么呢?

    可以归纳得到是5,10,10,5,1.

    这些数字如何解释呢?

    类比地,我们可以得到4维空间中简单几何体的顶点、棱、面和体的相关分布:它有5个0维的端点,有10个1维的棱,10个2维的面,5个四面体为边界并含有1个4维几何体. 由杨辉三角,我们从现实空间进入了虚拟空间,甚至是n维空间,n维空间简单几何体的顶点、棱、面、…的分布为:,…,.

    4. 换一种方式行走:

    如果旅行者“向上行走”时,每走一个路口就要休息一次,而“向右行走”时可以走任意个路口休息一次,问由O地到对角线BC上的路线数目有多少?

    设表示由O地走到上的路线数目.

    由题意,旅行者要走到上,可以从向上行走;或者从O点,,…,向右一次走到.

    所以

    ….

    所以两式相减,得.

    其特征方程为,特征根为.

    所以.

    因为,所以

    所以.

    可以看到,是菲波那契数列的第项.

    所以.

    作者:董 武

    本作品为科普中国原创,转载时务请注明出处。

    

棋盘上的数学

图文简介

帕斯卡建立了二项式系数的表示法