1. 问题的提出：

    我国《九章算术》中有“引葭赴岸”问题，其译文为：今有正方形水池边长为1丈，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺. 将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接，问水深、芦苇的长度是多少？

    “引葭赴岸”问题，我们现在通常的解法是设未知元，列方程组求解.

    如图1，在正方形ABMN中，DE=1，AC=DC,AB=10,E,C为AB,MN的中点.

    图1

    设,，则在Rt△AEC中，，即，所以尺，芦苇的长为13尺.

    我国古代数学家刘微，巧妙的运用勾股定理解决测量芦苇的高度,并给出了本问题的公式解：“以此池方半之，得五尺为勾，水深为股，葭长为弦，以勾及股弦差求股弦；故令勾自乘，先见矩幂也，出水者，股弦差，减此差于矩幂则余之，倍差为此幂之广，令此幂除倍出水二尺为广，故得水深也. ”设勾（池半）为a，股（水深）为b，弦（葭长）为c，则公式解可表示为.

    上述“引葭赴岸”问题，因为“水池边长AB”已知，所以利用勾股定理可以顺利求解，若是池边到芦苇的距离不知呢，即

    问题：如何测量底部不可到达的建筑物的高？

    2. 问题解决的依据：

    对于这类问题，由于建筑物不能移动，且其底部不能到达，如果只选择一个测点，则只能测得一个角，问题不能得到解决，所以一般选取两个或更多的测点，利用正弦定理、余弦定理中边与角的关系加以解决. 若所求距离（建筑物的高等）较大，往往利用布设“三角网”的方法逐一解决，其设的点越少越好.

    3. 问题的解决：

    设AB为所测量建筑的高.

     图2

    一般地，如图2，选位置C对高进行测量，可测得点A的仰角为. 再选一测点D，在△BCD中，可测得.

    在△BCD中，由正弦定理，可得，得.

    在Rt△ABC中，可得.

    具体地，利用上述方法，可以测量北京故宫的四角上的角楼的高度. 如利用相应的仪器测得，其中测量仪器高为1.5米，可计算得角楼的高为AB+1.5=26.3+1.5=27.8米.

    图3

    特殊地，如图3，在B,C延长线上再选一测量点D，在C,D两点测得点A的仰角分别为，且CD=m.

    在△ACD中，得.

    由正弦定理，可得，得.

    在Rt△ABC中，.

    具体的，如图，勘探队员朝一座山行进，前后两次测得同顶点的仰角分别为和，两个测点之间的距离为200m，求此山的高度. （测量者高度忽略不计，精确到0.1m）

    解：由题意，，所以.

    即此山的高度约为273.2m.

    4. 问题的进一步延伸：

    特殊地，若AB不是建筑物的高，而是平面上两个不能到达的地方之间的距离呢？如,设A,B是两个岛屿，如何测量它们之间的距离呢？如图4.

图4

    解：类比解决上述问题的方法，在海边适当选取两个测点C,D，使A,B,C,D四点在一个平面上. 可测得.

    在△BCD中，由正弦定理，可得，得.

    在△ACD中，，由正弦定理，可得，得.

    在△ABC中，由余弦定理可得，，

    把BC,AC代入上式即可求出AB.

    作者：董 武

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