强可测矢量值函数是可测数值函数概念在赋范线性空间上的推广。强可测向量值函数的线性组合也是强可测的。

简介

强可测矢量值函数是可测数值函数概念在赋范线性空间上的推广。

设(Ω,𝓕,μ)是测度空间，x(t)是定义在Ω上而且取值于赋范线性空间X的向量值函数。如果存在Ω上的一列可数值函数{xn(t)}，使得{xn(t)}关于μ几乎处处强收敛于x(t)，即||xn(t)-x(t)||关于μ几乎处处收敛于0，则称x(t)在Ω上（取值于X）是强可测的。

实例

可数值函数是强可测的。

按强拓扑连续的向量值函数是强可测的。

强可测向量值函数的线性组合也是强可测的。

性质

如果向量值函数x(t)是强可测的，则数值函数||x(t)||必是可测的。

如果x(t)是强可测向量值函数，而α(t)为有限实值可测函数，则α(t)x(t)亦为强可测函数。

如果强可测向量值函数列x(t)，则x(t)亦必是强可测的。

推论

对于强可测函数而言，也有相应的叶戈罗夫定理和卢津定理。

叶戈罗夫定理断言：如果(Ω,𝓕,μ)有限测度空间，而定义在Ω上取值于巴拿赫空间X的强可测向量值函数列{xn(t)}关于μ几乎处处强收敛于x(t)，那么对任给ε>0，存在于A∈𝓕，使得μ(A)0，存在闭集A使得μ(Ω\A)

强可测矢量值函数

图文简介

强可测矢量值函数是可测数值函数概念在赋范线性空间上的推广。强可测向量值函数的线性组合也是强可测的。