科克伦定理是科克伦于1934年提出的定理。独立正态随机变量的线性函数仍然服从正态变量，但是，独立正态随机变量的二次型函数与χ2分布有着密切的联系，科克伦定理深刻地揭示了这一问题的实质，它在方差分析问题中起着重要的作用。

基本介绍

如果 是独立的标准正态分布的变量， 为具有秩 的变量 的二次式。如果 ，那么 为独立的自由度分别为 的 变量的充分必要条件是 。这一定理应用到回归分析中，如果 的n个观察值均来自同样的均值为 ，方差为 的正态分布，SSTO是总的离差平方和，自由度为n-1可分解成K个平方和SSr，其自由度分别为 ，如果 ，那么 项分别是自由度为 的 变量1。

在线性统计推断中，科克伦(Cochran)定理及其推广形式发挥着重要的作用，它主要研究独立正态随机变量的二次型函数的性质。

科克伦定理及其证明

科克伦定理 设随机变量 相互独立，且都服从正态分布 ，记 ，其中 是n阶非负定的对称阵，且其秩为 ， 又是随机(列)向量

表示 的转置 。如果

那么， 相互独立且 服从 的充分必要条件是2

证明 不失一般性，假定，不然的话，可以先令

这时，相互独立，且都服从。

由分布的可加性立即可以推得必要性成立，下面证明充分性。

假定成立，对每一个，由于Aj是n阶非负定的方阵，因此由线性代数理论知道，存在秩为nj的矩阵Cj，使得把分块矩阵记作C。易见，C是n阶方阵。作变换

由

推知，这里表示n阶单位阵．这表明C是正交阵。因此，是相互独立的随机变量，且都服从N(0，1)，注意到（n0理解为0)

这表明相互独立且服从。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所

科克伦定理

图文简介

科克伦定理是科克伦于1934年提出的定理。独立正态随机变量的线性函数仍然服从正态变量，但是，独立正态随机变量的二次型函数与χ2分布有着密切的联系，科克伦定理深刻地揭示了这一问题的实质，它在方差分析问题中起着重要的作用。