在抽象代数中，一个域上的代数元α之极小多项式（或最小多项式）是满足P(α)=0的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) P。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

简介

在抽象代数中，一个域上的代数元 之极小多项式（或最小多项式）是满足 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) 。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。1

形式定义

设为一个域，为有限维-代数。对任一元素，集合张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系 ：

可以假设，此时多项式满足。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于，而且可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零，此时可以表成的多项式。2

矩阵的极小多项式

考虑所有矩阵构成的-代数，由于，此时可定义一个矩阵之极小多项式，而且其次数至多为；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为，且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论（若尔当标准型、有理标准形）的关键。3

极小多项式与代数扩张

设为的有限扩张，此时可视为有限维-代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。3

参见

伽罗瓦扩张

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学

极小多项式

图文简介

在抽象代数中，一个域上的代数元α之极小多项式（或最小多项式）是满足P(α)=0的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) P。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。