皮尔森卡方检验（英语：Pearson's chi-squared test）是最有名卡方检验之一（其他常用的卡方检验还有叶氏连续性校正、似然比检验、一元混成检验等等，它们的统计值之机率分配都近似于卡方分配，故称卡方检验）。“皮尔森卡方检验”最早由卡尔·皮尔森在1900年发表，用于类别变数的检验。科学文献中，当提及卡方检验而没有特别指明类型时，通常即指皮尔森卡方检验。1

“皮尔森卡方检验”的虚无假设（H0）是：一个样本中已发生事件的次数分配会遵守某个特定的理论分配。

在虚无假设的句子中，“事件”必须互斥，并且所有事件总机率等于1。或者说，每个事件是类别变量（英语：categorical variable）的一种类别或级别。

简单的例子：常见的六面骰子，事件=丢骰子的结果（可能是1~6任一个）属于类别变量，每一面都是此变量的一种（一个级别）结果，每种结果互斥（1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...），六面的机率总和等于1。

“皮尔森卡方检验”可用于两种情境的变项比较：适配度检验，和独立性检验。1

“适配度检验”验证一组观察值的次数分配是否异于理论上的分配。

“独立性检验”验证从两个变量抽出的配对观察值组是否互相独立（例如：每次都从A国和B国各抽一个人，看他们的反应是否与国籍无关）。

不管哪个检验都包含三个步骤：

（1）计算卡方检验的统计值“ ”：把每一个观察值和理论值的差做平方后、除以理论值、再加总。

（2）计算 统计值的自由度“df”。

（3）依据研究者设定的置信水准，查出自由度为df的卡方分配临界值，比较它与第1步骤得出的 统计值，推论能否拒绝虚无假设。

适配度检验（英语：Goodness of Fit test）：测试样本的机率分配与母体有多相似。

母体假设为离散型均匀分配

当理论上的母体分配为每个类别机率一致时，即应适用离散型均匀分配的计算方法。N个观察值于理论上应均匀分配在所有的 m个字段（类别）中，因此每个字段（类别）的“理论次数”（或期望次数）为：

，其中i=1,2,...,m.

其中，自由度df=m-1 。“m”是总共要计算离差平方的个数（每个类别计算一次观察值与理论值的差，再平方）。“ -1”是因为对于计算 而言只有一个限制条件：观察值的个数总和为N。

在同一个个体（例如：同一个人）身上有两个二元变量（X, Y），例如 X（男/女）和 Y（右撇子/左撇子），观察两个变量的相关性。虚无假设是：两个变量呈统计独立性。

在本例中：性别与惯用手是独立事件。

首先，每个观察值（每个抽出的人）会被重新编排到一个叫做“列联表”（英语：contingency table，又称：条件次数表）的二维表格里。本例的列联表是2×2的构造：

如果列联表共有 r 行 c 列，那么在独立事件的假设下，每个字段的“理论次数”（或期望次数）为：

其中N是样本大小（观察值的个数，亦即2×2列联表所有字段的总和，本例：N = 100）。本例的各字段期望值如下（括号里的数字）：

统计值的公式是：

本例的统计值是：

自由度df=(r-1)(c-1)是这样得出：虽然总共要计算 rc 个离差平方（每个字段计算一次观察值与理论值的差，再平方），但 X 变量有1个限制条件（样本抽出后，男性的人数即固定），Y 变量也有1个限制条件（样本抽出后，右撇子的人数即固定），所以可自由变动的字段数只有 (r-1)(c-1).

在本例中.

在 的条件下，得出卡方分配右尾机率p=0.1825，无法拒绝虚无假设，亦即：无法拒绝性别变量与惯用手变量互相独立的假设。

如果个别字段的期望次数太低，会使机率分配无法近似于卡方分配。一般要求：自由度df>1时，期望次数小于5的字段不多于总字段的20%。2

若自由度df=1，且若期望次数