若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一致连续。换言之，在闭区间上连续的函数在该闭区间一致连续。

历史上比较著名的康托(Cantor)定理，大致有下列三个:

康托定理1：闭区间上的连续实函数是一致连续的。1

康托定理2：一个集合本身的势严格小于其幂集的势。

康托定理3：如果一个全序集是可列集，且是稠密的，无最大和最小值的，则它一定和有理数集序同构。

定理

若函数在闭区间上连续，则它在上一致连续。

设函数在区间上定义，则在上一致连续的充分必要条件是：对任何点列和，只要满足，就成立。

函数在有限开区间连续，则在上一致连续的充分必要条件是与存在。

证明

采用反证法。

假设在上非一致连续，由非一致连续定义可知存在及两点列和，，满足

，且 。

因为有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列：

在点列中取子列，其下标与下标相同，则由，又得到

由于函数在点连续，因而有

于是得到：

但这与假设产生矛盾，从而推翻假设，得到在上的一致连续的结论。

开区间上连续但非一致连续的例子

例：在上连续，但非一致连续。

证：对于任意给定的，，我们通过精确地解出，来说明不存在适用于整个区间的。

对任意，关系式 即为

它等价于

即

由此得到

显然，这就是。

但是当时，，换言之，不存在对区间中一切点都适用的，因此在上非一致连续。1

本词条内容贡献者为:

朱坤平 - 副教授 - 华东理工大学

康托定理

图文简介

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上一致连续。换言之，在闭区间上连续的函数在该闭区间一致连续。