白塞尔公式是以改正数 Vi 代替真误差 △i 得到按观测值的改正值计算观测值的中误差公式。

定义

白塞尔公式是利用最或然误差求均方误差的公式。

从均方误差的定义可知，均方误差σ等于各观测值的真误差△平方和的算术平均值的平方根。但在实际工作中，真值是往往不知道的，真误差当然也是不知道的。所以，求均方误差的实用公式是白塞尔公式，即 ，式中σ为均方误差，y为最或然误差，n为观测次数，[ ]为高斯取和符号。 。1

算术平均值原理

设某量的真值为 x ， n 次等精度观测值为 l1,l2,…,ln，其相应的真误差为 ∆1,∆2,…,∆n，则可得：

将等式两端分别相加并除以n，则

令算术平均值：

并顾及偶然误差的抵消性，即得：

因此，当观测次数”趋于无限次时，算术平均值趋近于该量的真值。在实际工作中只能进行有限次观测，算术平均值并不最接近于真值，但是比每一个观测值更接近于真值，因此，通常认为有限次观测值的算术平均值是该量的最可靠值，亦称最或然值。

观测值的改正数

算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数，以v表示，即：

将等式的两端分别相加，得：

顾及 可得

因此，在相同观测条件下，一组观测值的改正数之和恒等于零。这个结论常用于检核计算。 ’

最小二乘法原理

最小二乘法原理是指在解算平差问题时，对一组互相独立的等精度观测值所施加之改正数的平方和应为最小，即

换言之，应该在满足上式的条件下求取最或然值。

由 得

根据最小二乘法原理，应使上式具有极小值，为此取一阶导数，并令其等于零，得：

故

因此，在等精度观测的条件下，取观测值的算术平均值作为最或然值，并由此得到各个观测值的改正数是符合最小二乘法原理的。2

本词条内容贡献者为:

张静 - 副教授 - 西南大学

白塞尔公式

图文简介

白塞尔公式是以改正数 Vi 代替真误差 △i 得到按观测值的改正值计算观测值的中误差公式。