阶乘是基斯顿·卡曼（ChristianKramp，1760～1826）于 1808 年发明的运算符号1.

一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，0的阶乘为1.自然数n的阶乘写作n!.1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法.

n!=1*2*…*(n-1)*n.

阶乘运算满足递推公式n!=n(n-1)!，0的阶乘是1.

历史

早在12世纪，印度学者就已有使用阶乘的概念来计算排列数的纪录2.今天使用的符号是由法国数学家基斯顿·卡曼于1808年引入的.1

定义

对于一个正整数n，n的阶乘可通过连乘积来定义：3

用连乘积符号可以表示为：

从上述公式中，可以推导出递推关系式：

例：.

零的阶乘

为了将递推关系式扩展到 ，需要定义0的阶乘：0!=13

因此由递推公式可以得到：

有几种独立的理由认为这个定义是和谐的：

1.当时，定义为“没有任何数字相乘的结果”，因此这是一个更广泛的定义“空积（emptyproduct）”的例子；

2．在组合数学中，对0个物品只有一种排列方式，即0个物品的全排列1；

3，同样，在空集合中选择0个元素组成不同组的方法只有一种，即；

注： 与都表示从个不同元素中取出个元素的组合数：34

4.考虑r函数在点处的情况，，r函数需要满足该值才能在该点连续.5

性质

阶乘函数的性质众多，这里只能简单列举几个常见的性质.

分析学方面

考虑，其增长速率比指数函数要快，但比双指数函数要慢（a,b>0）.事实上， 的增长速率与相同.原因是

注：这里的约等号事实上并不严谨，对上述命题的严谨证明如下：

由关系式

推出

但是，

因此当时，有

由于当时有，公式的相对误差当时趋于零5.

经典的斯特林公式（Stirling's approximation）如下：

事实上，这是公式在上的特殊情况这个公式意味着我们可以通过来近似的估计的大小.斯特林公式给出了这个渐进级数的第一项，当项数增加时，可以得到更精确的结果，如

另一个版本是使用奇数级指数函数来近似.5

数论方面

整数的阶乘定义意味着可分为小于等于的素因子的乘积，的素因子的指数由勒让德公式（Legendre'sformula）给出:

注：设为任意实数，则表示不超过x的最大整数.

由此可推出的标准分解式为

例1：求 100！中 3 的指数.

解：

例2： 是勒让德公式的一个特殊情况，给出了这个数字末尾的0的数量（即正好可以被10的次幂整除）.事实上，由勒让德公式知的指数总是大于的指数，这样每个因子5才能与一个因子2配对.

关于可分性的另一个结果是威尔逊定理（Wilson'stheorem）：一个自然数是质数当且仅当.6

对非负整数

来源: 百度百科

内容资源由项目单位提供