幂等矩阵（idempotent matrix）定义：若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。2例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。1

定义介绍

若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。2

**等价命题****1：**若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；

**等价命题2：**若A是幂等矩阵，则A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是幂等矩阵；

**等价命题3：**若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T，也为幂等矩阵；

**等价命题4：**若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵。

由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。

性质

幂等矩阵的主要性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

1）设 A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁+A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂ =A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂)；N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂)；

2）设 A₁， A₂都是幂等矩阵，则(A₁-A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂)；N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂)；

3）设 A₁，A₂都是幂等矩阵，若A₁·A₂=A₂·A₁，则A₁·A₂为幂等矩阵，且有：R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂)；N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。

来源: 百度百科

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