定积分，一般指在一个区间上有定义的一元实函数的黎曼和的极限。它描述的是将函数在区间上作微元后，将函数值累加起来的过程。直观地看，定积分描述的是函数图像在一段区间内围成曲边梯形的正向面积。

定积分具有一系列重要的性质与计算方法，包括牛顿-莱布尼兹公式等。

定积分在数学和物理上有非常广泛的应用，包括求曲线弧长、几何体体积、变力做功等；从定积分出发还可以衍生出定积分中值定理等。

定义与可积性

定义

对于在实数区间上有定义的函数，并在上给出满足的区间族作为其剖分，令为剖分的最大直径。

取，那么称函数在区间上的黎曼和为：

当极限存在时，定积分有定义：

直观地看，定积分描述的是函数图像和直线,，轴围成的曲边梯形的正向面积——即在轴上方部分的面积被记为正，在轴下方部分的面积被记为负。利用定积分，可以计算含曲边几何体的面积，变速运动的路程，变力做功等。

计算举例

例如，要计算：

可以先考虑将剖分为，。

此时有，于是可得：

从而有：

成立。

于是在等分点剖分下，由此计算得到。

在上述问题中，对于一般的区间剖分，由于有理数在实数中稠密，可以得到：对于任意和任意剖分，当时，都存在一个等分点剖分，使得在该等分点剖分下得到的黎曼和满足：

由的任意性得，选取等分点剖分时，黎曼和的极限与定积分值相同。

可积性

函数在上黎曼可积的充分必要条件有下面这些：

① 达布上下和的极限相等

对于剖分，记那么达布上和、达布下和分别定义为：

显然有，如果，那么可以得到存在且为确定值，从而得知存在，也即在上黎曼可积。

反过来，如果函数黎曼可积，那么由定积分的定义易知成立。由此，该条件的充分性与必要性得证。

② 振幅黎曼和的极限为零

记号同上节，另记，称为函数在区间上的振幅。

显然上节的条件等价于

此即函数黎曼可积的另一个充要条件。

③ 勒贝格定理

定理表述为：一个有界函数黎曼可积的充分必要条件，是其不连续点集为零测集。

因其证明较为复杂，故此处略去。

由此可以很容易地证明黎曼函数在是黎曼可积的，因为它的不连续点集为上的有理数集，这是零测的。

基本性质

函数定积分有如下基本性质。以下记号中是在区间上黎曼可积的函数,是实数。利用上一节的三个充要条件可完成证明。

① 线性性

函数在上黎曼可积.

② 乘积可积

函数在上黎曼可积。

③ 可加性（对积分区间而言）

此条也是函数黎曼可积的充要条件： 有 。

④ 保号性

若，则；若

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