B+树是一种树数据结构，通常用于数据库和操作系统的文件系统中。B+树的特点是能够保持数据稳定有序，其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。B+树元素自底向上插入，这与二叉树恰好相反。

简介

B+树在节点访问时间远远超过节点内部访问时间的时候，比可作为替代的实现有着实在的优势。这通常在多数节点在次级存储比如硬盘中的时候出现。通过最大化在每个内部节点内的子节点的数目减少树的高度，平衡操作不经常发生，而且效率增加了。这种价值得以确立通常需要每个节点在次级存储中占据完整的磁盘块或近似的大小。1

B+背后的想法是内部节点可以有在预定范围内的可变数目的子节点。因此，B+树不需要象其他自平衡二叉查找树那样经常的重新平衡。对于特定的实现在子节点数目上的低和高边界是固定的。1

B+ 树的创造者Rudolf Bayer没有解释B代表什么。最常见的观点是B代表平衡(balanced)，因为所有的叶子节点在树中都在相同的级别上。B也可能代表Bayer，或者是波音（Boeing），因为他曾经工作于波音科学研究实验室。1

定义

B+树是B树的一种变形形式，B+树上的叶子结点存储关键字以及相应记录的地址，叶子结点以上各层作为索引使用。一棵m阶的B+树定义如下:2

(1)每个结点至多有m个子女；2

(2)除根结点外，每个结点至少有[m/2]个子女，根结点至少有两个子女；2

(3)有k个子女的结点必有k个关键字。2

B+树的查找与B树不同，当索引部分某个结点的关键字与所查的关键字相等时，并不停止查找，应继续沿着这个关键字左边的指针向下，一直查到该关键字所在的叶子结点为止。2

节点结构

在 B+ 树中的节点通常被表示为一组有序的元素和子指针。如果此B+树的序数（order）是m ，则除了根之外的每个节点都包含最少 个元素最多 m-1 个元素，对于任意的节点有最多 m 个子指针。对于所有内部节点，子指针的数目总是比元素的数目多一个。因为所有叶子都在相同的高度上，节点通常不包含确定它们是叶子还是内部节点的方式。1

每个内部节点的元素充当分开它的子树的分离值。例如，如果内部节点有三个子节点（或子树）则它必须有两个分离值或元素a1和a2。在最左子树中所有的值都小于等于a1，在中间子树中所有的值都在a1和a2之间((a1，a2]），而在最右子树中所有的值都大于a2。1

特征

B+树是B树的一种变形，比B树具有更广泛的应用，m阶 B+树有如下特征:3

(1)每个结点的关键字个数与孩子个数相等，所有非最下层的内层结点的关键字是对应子树上的最大关键字，最下层内部结点包含了全部关键字。3

(2)除根结点以外，每个内部结点有 到m个孩子。3

(3)所有叶结点在树结构的同一层，并且不含任何信息(可看成是外部结点或查找失败的结点)，因此，树结构总是树高平衡的。3

算法

查找

查找以典型的方式进行，类似于二叉查找树。起始于根节点，自顶向下遍历树，选择其分离值在要查找值的任意一边的子指针。在节点内部典型的使用是二分查找来确定这个位置。1

插入

节点要处于违规状态，它必须包含在可接受范围之外数目的元素。1

1. 首先，查找要插入其中的节点的位置。接着把值插入这个节点中。1
2. 如果没有节点处于违规状态则处理结束。1
3. 如果某个节点有过多元素，则把它分裂为两个节点，每个都有最小数目的元素。在树上递归向上继续这个处理直到到达根节点，如果根节点被分裂，则创建一个新根节点。为了使它工作，元素的最小和最大数目典型的必须选择为使最小数不小于最大数的一半。1

删除

1. 首先，查找要删除的值。接着从包含它的节点中删除这个值。1
2. 如果没有节点处于违规状态则处理结束。1
3. 如果节点处于违规状态则有两种可能情况：1
4. 它的兄弟节点，就是同一个父节点的子节点，可以把一个或多个它的子节点转移到当前节点，而把它返回为合法状态。如果是这样，在更改父节点和两个兄弟节点的分离值之后处理结束。1
5. 它的兄弟节点由于处在低边界上而没有额外的子节点。在这种情况下把两个兄弟节点合并到一个单一的节点中，而且我们递归到父节点上，因为它被删除了一个子节点。持续这个处理直到当前节点是合法状态或者到达根节点，在其上根节点的子节点被合并而且合并后的节点成为新的根节点。1

B+树与B-树

B+树是应文件系统所需而产生的一种B-树的变形树。一棵m阶的B+树和m阶的B树的差异在于:4

(1)有n棵子树的结点中含有n个关键码；4

(2)所有的叶子结点中包含了全部关键码的信息，及指向含有这些关键码记录的指针，且叶子结点本身依关键码的大小自小而大的顺序链接；4

(3)所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大(或最小)关键码。4

来源: 百度百科

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