等差数列是相邻两项之差为常数的数列，该常数称为公差。等差数列的递推公式、通项公式、前若干项之和的公式都具有重要的应用。

等差数列及其前若干项之和具有许多性质，从而得到许多其它关系式，并可以从中衍生出其它等差数列。

数列的高阶差分为等差数列时，被称为高阶等差数列，其通项公式为多项式；等差数列的各项均为质数的情形吸引了许多数学家的注意，并且产生了与之相关的格林-陶定理等成果。

基本概念

定义

从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，该数列就称为等差数列，该常数称为等差数列的公差。

例如：奇数列 是公差为2的等差数列。

等差数列有时又被称为“等差级数”、“算术级数”，可能是来源于其英文名arithmetic progression。这与分析学级数理论中的“级数”重名，然而数列本身并不直接包含“级数”的含义。为避免混淆，此处将不把“等差级数”、“算术级数”作为等差数列的别称。

递推公式与通项公式

根据定义可知，等差数列的递推公式为：

其中是常数，表示该数列的公差。

通过递推公式，可以列出，对于 有：

将上面的式子相加，即得：1

并且，经过验证，该式对也成立，于是等差数列的通项公式为：

通过通项公式，等差数列第项的值可以由首项，公差和项数唯一地确定。

等差中项

如果 成等差数列，那么称是和的等差中项。在一个等差数列中，除首项与有穷等差数列的末项外，每一项都是它的前一项与后一项的等差中项。2

由等差中项的定义可知

移项可得

此即是和的等差中项的充要条件。

求和公式

高斯求和的故事

相传数学王子高斯(Gauss)在童年时期独立发现了等差数列的求和公式。

高斯是一位早慧的数学天才。当他10岁时，一次数学课上，老师为了教训班里吵闹调皮的同学们，布置了一个“复杂”的任务：让学生计算从1加到100的所有整数的和。老师预期这会是一个耗时较长的任务，不用20分钟到30分钟是很难做出来的。

然而，令人惊讶的是，没过多久，高斯就举手表示他已经完成了计算，并给出了答案：5050。老师核对后发现答案完全正确，这让他感到非常意外和好奇。

当老师询问高斯是如何如此迅速地得出答案时，高斯解释了他的方法。他没有采用逐个相加的方式，而是观察到了一个规律：1和100相加等于101，2和99相加也等于101，依此类推，直到50和51相加同样等于101。这样，从1到100的整数就可以被分成50对，每对的和都是101。因此，他只需将101乘以50，就得到了总和5050。高斯的这种巧妙方法让他赢得了老师的赞赏。这段故事也被流传下来。3

公式内容

等差数列前项和的公式为：

要推导等差数列求和公式，可以使用“倒序相加法”。该方法可以认为是来源于高斯求和算法的启发。2

由于

将两式相加，由于，故

也即：

若将通项公式代入上式，即得等差数列前项和公式的另一形式：

求通项公式

若等差数列前项和的表达式已知，那么可以用下面的公式求通项公式：

由此可以得到为其通项公式。

性质举例

递推性质

已知 是一个等差数列，其公差为，那么：

证明：

由数列的通项公式可知，

因而

原式得证。

项间关系

已知是一个等差数列，其公差为，且，那么

证明：

由数列的通项公式可知，

因而

从而原式得证。

需要注意的是，在等差数列中，由并不能直接得到，这是因为没有排除公差为零的情形。实际上，。

当时，由可以推出成立。

等距子列为等差数列

已知是一个等差数列，其公差为，那么取定，则其子列也为等差数列，其公差为

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