正定矩阵是一种实对称矩阵，简称正定阵。正定矩阵对应的二次型是一个齐次的二次函数，且取值非负，仅在零点处取值为零。正定矩阵的概念可以推广到复矩阵中，得到埃尔米特型的理论。

正定矩阵具有诸多性质，借此可以研究二次型、偏微分方程等。正定矩阵具有广泛的应用价值，可借此推导出柯西不等式，研究数值解迭代问题，用于改进支持向量机分类问题的算法，用于判断环境污染来源等。

定义

对称矩阵与二次型

称实矩阵为对称矩阵，如果。

其中是矩阵的转置，即第行第列的元素恰为第行第列的元素。有些地方也把的转置记为。对称矩阵的定义表明其元素关于对角线对称。

称一个元函数为二次型，其中是对称矩阵，是一个维列向量。二次型是齐次的二次函数，其各项均为二次项。

对称矩阵与二次型一一对应的1。例如：

对称矩阵对应的二次型为。

二次型对应的对称矩阵为。

这些概念也可以拓展至复数域。对应的概念被称为埃尔米特(Hermite)矩阵和埃尔米特型。有些地方也将埃尔米特音译为厄米、赫米特等。

称一个矩阵为埃尔米特矩阵，如果。

其中是矩阵的共轭转置，即第行第列的元素恰为第行第列的元素的共轭。有些地方也把共轭转置记为或。

称一个元齐次函数为埃尔米特型，其中是埃尔米特矩阵，是一个维列向量。埃尔米特型的自变量均为实数，但其取值一定是实数。这是因为：2

因此，埃尔米特型可以视为实二次型的推广，且有许多相同的性质。

正定矩阵的定义

对于二次型和与之对应的对称矩阵, 如果:

(1) 对于任意的, 都有, 且仅当时,那么称为正定二次型, 称为正定矩阵;

(2) 对于任意的, 都有, 且存在时, 那么称为负定二次型, 称为负定矩阵;

(3) 对于任意的, 都有, 且仅当时, 那么称为半正定二次型, 称为半正定矩阵;

(4) 对于任意的, 都有, 且存在时, 那么称为半负定二次型, 称为半负定矩阵。

(5) 如果存在使得, 又存在

来源: 百度百科

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