积分在不同的背景下有不同的意义：一方面，积分可以视作微分的逆运算，即给定函数的导函数，求原函数的过程；另一方面，积分可以视作自变量在一个范围内被分割为无穷多个小的“微元”后，函数值相加得到的极限。

积分公式一般指微积分中用于计算积分表达式的一系列公式。这包括了一元实函数的不定积分、一元实函数的定积分、多元实函数的定积分等。借由积分公式，人们可以将微积分应用于实际情形做具体的计算。

对积分的具体计算而言，一般只关注黎曼积分，故本词条所述积分均为在黎曼积分的意义下。

微积分简史

自古以来，数学家们在探索图形面积、曲线长度等问题的过程中，逐步孕育了微积分的思想萌芽。古希腊时期，阿基米德巧妙运用“穷竭法”，成功解决了抛物线、弓形等复杂曲边图形的面积计算难题。同时，欧几里得的《几何原本》与阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》作为数学史上的经典之作，对后世产生了深远的影响2。

在中国古代，魏晋时期的数学家刘徽，在继承前人智慧的基础上，独创“割圆术”，通过计算正3072边形的面积来逼近圆面积，进而得出圆周率的近似值 。随后，南北朝时期的祖冲之将其精度提升至 ，领先当时世界一千多年水平1。

然而，这些研究大多聚焦于具体问题的解决，尚未形成系统化的微积分理论框架。直至17世纪，在以牛顿与莱布尼兹为代表的科学家的努力下，微积分正式脱离了单一的几何问题范畴，发展成一门独立的学科。他们不仅发现了微积分基本定理（亦称“牛顿-莱布尼兹公式”）这一重要的公式，还提出了链式法则、无穷级数等，为微积分广泛应用于计算奠定了坚实的基础。尽管这一时期微积分理论取得了巨大进展，但仍遗留下了关于“无穷小量是否存在”等悬而未决的问题。

随后的几个世纪里，数学家们不断努力，致力于将微积分构建为一个更加严谨、系统的学科体系。18世纪的欧拉与泰勒等人，将无穷级数应用于指数函数、三角函数中，还给出了著名的泰勒展开公式。19世纪，柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等数学家则对微积分中的基本概念给出了更为严谨、可靠的定义，如柯西将“无穷小量”定义为“以零为极限的变量”，从而解决了长期以来关于无穷小量存在性的争议。此外，这一时期还涌现出了如“狄利克雷函数”等关于函数连续性和可微性的反直觉反例，促进了数学家们对数学理论体系构建过程的反思。

进入20世纪，“勒贝格积分”的提出标志着实函数积分概念在近代的最后一次重大飞跃。这一理论在更弱的前提条件下推广了传统的积分概念。同时，鲁滨逊提出的“非标准分析”则为前期“无穷小量”概念的使用提供了坚实的逻辑基础。

不定积分常用公式

不定积分

不定积分是微分的逆运算。对于一元函数和，如果满足：

那么有：

由于常数函数求导后为0，结合求导运算的线性性，一般地，可以写为：

常用公式

求不定积分常用的公式包括下面这些，应用这些公式有时可以将待积函数变换为更容易找出原函数的形式3：

第一类换元公式

如果待积函数中具有“整体”特点较强的部分，可以对该部分进行整体的代换。具体地，如果，那么有：

例如，令，则有：

第二类换元公式

如果待积函数中具有形如等的部分，可以将函数自变量替换为更便于利用三角恒等式的形式。具体地，令，那么如果下式右侧存在，则有：

例如，令，则有：

最后利用可得：，。从而可以将上式结果最终写为关于的形式：

分部积分公式

利用函数乘积的求导公式，可以推出分部积分公式。设函数和，则有：

例如，当时，由上述公式有：

积分表

为了更方便地计算不定积分，大量已知的不定积分结果被汇总成积分表，以便使用者查阅。由于积分表包含的内容较多，此处将省略其具体内容。

应用中可以通过前述的公式，将原积分表达式变换为积分表中的形式，再直接套用积分表中的结果。

一元实函数定积分常用公式

定积分

考虑在实数区间上有定义的函数，并在上给出满足的区间族作为其剖分，称为剖分的最大直径。

取，那么称函数在区间上的黎曼和为：

当极限存在时，定积分有定义：

从几何角度，在函数性质足够好时，定积分描述了函数图像和直线，， 轴围成的曲边梯形的正向面积——即，在轴上方部分的面积被记为正，在轴下方部分的面积被记为负。利用定积分可以计算含曲边几何体的面积，变速运动的路程，变力做功等。

常用公式

求定积分常用的公式包括下面这些：

微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）

这是求定积分最常用的方法之一，也是分析学的一个基本公式4。只要能够计算出待积函数的一个原函数，就可以通过该公式计算出定积分。具体地，对于一元函数和，如果满足：

那么有：

上式右侧有时也被记作。即：

例如对于，在上满足，那么可以得到：

这意味着函数图像 与直线，， 轴围成的曲边梯形的面积为。

另外，如果待积区间涉及无穷，同时

来源: 百度百科

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