伴随矩阵是由原矩阵的各个代数余子式组成的矩阵，与矩阵的逆之间有密切的联系。但是，相比于逆矩阵，伴随矩阵是一定存在的。同时，在矩阵可逆的情形下，伴随矩阵与原矩阵只相差行列式倍，这被称作伴随矩阵的“母公式”，在求解逆矩阵中有重要的作用。

基础信息

定义

取n阶方阵，那么其伴随矩阵为

其中，是方阵A中元素的代数余子式，即

是方阵A去除了第i行第j列的元素后，剩下的阶方阵的行列式。需要注意的是方阵A中第i行第j列的的代数余子式，位于方阵中的第j行第i列。2

求法举例

以2阶和3阶矩阵为例。下面求矩阵

的伴随矩阵。3

由定义，对于，其伴随矩阵，代入数据得.

对于，先求出其中的各代数余子式，，，，。由定义，其伴随矩阵。

基本性质

通过伴随矩阵的定义，可以验证下面的基本性质45，下面式子中出现的矩阵均为至少2阶的方阵，表示矩阵A的转置。

(性质1) 对于任意方阵A，其伴随矩阵一定存在；

(性质2)

(性质3);

(性质4) 对于常数k，；

(性质5)；

(性质6) 分块阵的伴随矩阵为；分块阵的伴随矩阵为（m和n分别是A和B的阶数）。

伴随矩阵的“母公式”

一个n阶方阵A与其伴随矩阵的重要关系还包括：

其中是单位矩阵。该式又被称作伴随矩阵的“母公式”2。从上式中，可以看出伴随矩阵与矩阵的逆之间有着密切的联系5。对于方阵A，若可逆或者行列式，由上式即可得：

“母公式”的证明：

对于，不妨考虑。其第i行第i列的值为

其第i行第j列的值为

对于每一组i和j，考虑一个由A构造出的新矩阵——其第j行被替换为第i行的各值。那么显然这个新矩阵的行列式为0。而该矩阵沿第j行的展开式恰等于上式，即得

综合以上，便证明了。类似地可证。证毕。

“母公式”的推论：

通过母公式还可以得到下面的性质5。下面式子中出现的矩阵均为n阶可逆方阵。

(性质7)；

(性质8) 方阵可逆其行列式值非零其伴随矩阵可逆；

(性质9)。

伴随矩阵的秩

设n阶方阵A，其伴随矩阵为，那么其秩

**伴随矩阵的秩的证明：**3

若，那么𝐴可逆，从而可逆，，该情形得证。

若，那么𝐴中所有的(𝑛−1)阶子式均为0，从而可得，其伴随矩阵是零矩阵，，该情形得证。

若，那么|𝐴|=0且𝐴中存在(𝑛−1)阶子式不为0。 那么由|𝐴|=0，代入伴随矩阵的母公式得到

来源: 百度百科

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