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高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式。在物理学中，高斯定理是电磁学的基本定理，是麦克斯韦方程组中的两个方程。高斯定理将电荷或磁荷（至今没有发现）与电场或磁场联系起来。1

研究历史

1839年，‌高斯发表了重要论文《‌关于与距离的平方成反比的吸引力或排斥力的普遍定理》‌，‌在这篇论文中，‌他严格证明了Poisson方程，‌并给出了静电学中的高斯定理。

物理学定理

电场的高斯定律说：从任意封闭曲面内流出的电场的通量与封闭曲面包围的电荷成正比，与电荷的分布无关。至今没有在实验中发现磁单极子，认为磁场是无源场，因此磁场的高斯定律说：从任意封闭曲面内流出的磁场的通量为零。在对称性较差的体系中，高斯定律通常以微分形式使用。

电场

真空中

真空中电场的高斯定律可以表示为

$%C2%A0%20%7B%7B%5CPhi%7D_%7BE%7D%7D%3D%5Cfrac%7BQ%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cquad%5Cquad%281%29$

其中是通过封闭曲面的电通量，是封闭曲面包围的总电荷。一般地，电通量的定义是

在弯曲时空中，电通量的表达式是

其中是度规张量的行列式，是电磁场张量，表示的是面积，是Levi-Civita符号。上述方程是电场的高斯定律的积分形式

应用散度定理，可以将电场的高斯定律写成微分形式

$%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%20%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%C2%A0%C2%A0%5Cquad%5Cquad%284%29$

介质中

在电介质中有两种电荷：自由电荷和束缚电荷。顾名思义，自由电荷是可以自由移动的电荷。束缚电荷来自于电极化。电介质处于电场中时，其中的正电荷会受到沿着电场方向的力，负电荷受到的力相反。那么正负电荷之间会错开一个小的位移。在电介质内部的极化产生的电荷相互抵消，只有介质表面会有正负电荷的积累，这被称为“束缚电荷”。

极化矢量是电偶极矩的体密度，即

对于大多数电介质，可以近似地认为极化矢量与电场成正比，比例系数是极化率

其中是极化率。因此在电介质中，第一个麦克斯韦方程可以写成

$%5Cvec%7B%5Cnabla%20%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B%7B%7B%5Crho%20%7D_%7Bf%7D%7D%2B%7B%7B%5Crho%20%7D_%7Bb%7D%7D%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%7B%7B%5Crho%20%7D_%7Bf%7D%7D-%5Cvec%7B%5Cnabla%20%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BP%7D%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5CRightarrow%20%5Cvec%7B%5Cnabla%20%7D%5Ccdot%20%5Cleft%5B%20%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%5Cleft%28%201%2B%5Cchi%20%20%5Cright%29%5Cvec%7BE%7D%20%5Cright%5D%3D%5Cvec%7B%5Cnabla%20%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BD%7D%3D%7B%7B%5Crho%20%7D_%7Bf%7D%7D%5Cquad%5Cquad%287%29$

其中表示自由电荷，是束缚电荷密度。推导中用到了公式，定义了一个物理量：电位移矢量

因此在电介质中的高斯定理有下面两种等价形式

库伦定律

点电荷产生的电场应当是球对称的，根据球对称性，对于真空中的点电荷，高斯定理可以写成

$4%5Cpi%20%7B%7Br%7D%5E%7B2%7D%7DE%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cto%20E%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B4%5Cpi%20%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7B%7Br%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cquad%5Cquad%2810%29$

这就是高斯定理。相反地，通过库仑定律和电场叠加原理也可以推导出高斯定理。一般地，电场可以写成

$%5Cvec%7BE%7D%5Cleft%28%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%20%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%20%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cint%7B%5Cfrac%7B%5Crho%20%5Cleft%28%5Cvec%7Br%7D%27%20%5Cright%29%5Cleft%28%20%5Cvec%7Br%7D-%5Cvec%7Br%7D%27%20%5Cright%29%7D%7B%7B%7B%5Cleft%7C%20%5Cvec%7Br%7D-%5Cvec%7Br%7D%27%5Cright%7C%7D%5E%7B3%7D%7D%7D%7B%7Bd%7D%5E%7B3%7D%7D%5Cvec%7Br%7D%27%7D%5Cquad%5Cquad%2811%29$

应用 $%5Cvec%7B%5Cnabla%20%7D%5Ccdot%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%7D%7B%7B%7B%5Cleft%7C%20%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5Cright%7C%7D%5E%7B3%7D%7D%7D%20%5Cright%29%3D4%5Cpi%20%5Cdelta%20%5Cleft%28%20%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%20%5Cright%29$ ，可以得到

$%5Cvec%7B%5Cnabla%20%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cint%7B%5Crho%20%5Cleft%28%20%5Cvec%7Br%7D%27%20%5Cright%29%5Cdelta%20%5Cleft%28%20%5Cvec%7Br%7D-%5Cvec%7Br%7D%27%20%5Cright%29%7B%7Bd%7D%5E%7B3%7D%7D%5Cvec%7Br%7D%27%7D%3D%5Cfrac%7B%5Crho%20%5Cleft%28%20%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%20%5Cright%29%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cquad%5Cquad%2812%29$

磁场

至今没有在实验中发现磁单极子，因此，可以认为磁场是一个无源场。磁场的高斯定理可以表述为：穿过任意闭合曲面的磁通量为零，也就是说

推论

球对称电容器的电场

先考虑一个均匀带电荷的球壳，半径为。我们选取与球壳球心重合的闭合球面，半径为。由于对称性，球面上的电场强度应该相等，方向应该都经过球心垂直于球面。如果，那么闭合曲面内不包含任何电荷，电场为0。因此在球壳内部电场处处为零。如果，那么根据高斯定理

$4%5Cpi%20r%5E2%5Cleft%7C%5Cvec%7BE%7D%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7BQ%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D%5Cquad%5Cquad%2814%29$

我们得到在球壳外侧的电场是

$%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cfrac%7BQ%7D%7B%7B%7Br%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%5Chat%7Br%7D%C2%A0%C2%A0%C2%A0%5Cquad%5Cquad%2815%29$

如果电容器是实心的，电荷在球内均匀分布。那么在时，电场由给出；在时，高斯定理是

$4%5Cpi%7B%7Br%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cleft%7C%20%7B%5Cvec%7BE%7D%7D%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%7D_%7Bo%7D%7D%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7Br%7D%7B4%5Cpi%20r%7B%7B%27%7D%5E%7B2%7D%7D%5Crho%20dr%27%7D%5Cquad%5Cquad%2816%29$

其中电荷密度 $%5Crho%20%3D%5Cfrac%7BQ%7D%7B%5Cfrac%7B4%5Cpi%20%7B%7BR%7D%5E%7B3%7D%7D%7D%7B3%7D%7D$ ，因此电场为

$%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cfrac%7BQ%5Cvec%7Br%7D%7D%7B%7B%7BR%7D%5E%7B3%7D%7D%7D%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%5Cquad%5Cquad%2817%29$

圆柱形电容器的电场

设电荷线密度为的的圆柱形电容器圆周半径为，长度为，且，我们可以近似圆柱形电容器无限长。根据对称性，我们可以选取圆柱形积分曲面，对称轴与电容器重合，电场应当过对称轴垂直于积分曲面。在积分曲面圆周半径时，根据高斯定理

$%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%202%5Cpi%20rL%5Cleft%7C%20%7B%5Cvec%7BE%7D%7D%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7BQ%7D%7B%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7D%7D%5Cquad%5Cquad%2818%29$

可以得到电场

$%C2%A0%5Cvec%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Chat%7Br%7D%7D%7B2%5Cpi%20%7B%7B%5Cvarepsilon%20%7D_%7B0%7D%7Dr%7D%5Cquad%5Cquad%2819%29$

其中是过圆柱旋转对称轴垂直于圆柱面的单位矢量。

来源: 百度百科

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