从若干不同元素中，任取固定数量的元素合成一组，能够形成的组合的个数，称为组合数。关于组合数的其它恒等式有很多种，其与二项式定理、杨辉三角等也有密不可分的关系。

组合数公式指的是用一个含阶乘的比式来计算组合数的公式。其可以较方便地应用于求较小的组合数的值。

许多实际问题也可以通过与组合数建立联系，来简化其求解的过程与难度，最终使用组合数公式计算。

组合数

定义

考虑一个元素集合的子集，的元素个数为。满足条件的的个数即为组合数 。有时也记为。

此即组合数的定义，形式上，可以写为

其计算公式为

计算公式推导

首先考虑从个元素中依次选出个元素。由分步乘法计数原理，选法有 种。此选法考虑了选择的顺序，得到的结果又称为“排列数”，记为或：

然后，由于选出的个元素应当不计顺序，故需排除上述选法中的重复。从这个元素中考虑顺序地依次全部选出（又称“全排列”），即得到所有可能的重复有共种。

在排列数的基础上除以个元素的全排列数，得到

此即组合数的计算公式。

性质

设正整数与，通过上述定义，易得：

1. ；；

2.；

3. 组合数的递推式。

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二项式定理

定理内容：

对于任意的，均有

推导过程：

，由多项式的乘法规则，所得多项式中，的系数为“从中挑出个，其中的参与相乘；剩余的中的参与相乘”的方法数。此恰为组合数。

定理应用

二项式定理的应用十分广泛，例如可以赋值得到关于组合数的重要恒等式：

还可以赋值，得到：

结合以上两个式子即可得到：1

再例如，对等式（和是正整数）的左右两边分别使用二项式定理，即得：

为使左右两边对应幂次项的系数相等，可以推出范德蒙德(Vandemonde)恒等式：2

杨辉三角

杨辉三角是一种将数字排列成三角形的方式，其特点是“肩上的两个数相加等于该数”，且两侧边缘为1；用这种方法可以构建出如下图所示的阵列：

以第四排的第二个数“3”为例，其“肩上”的两个数是第二排的前两个数“1”和“2”，其和为3，第四排的第二个数由此确定。

杨辉三角与组合数之间有着紧密的联系：它的第行的第个数，恰为的项系数。即：为杨辉三角的第行的第个数。

从中可以直接看出组合数的递推公式为

应用举例

例1 从6门科目中选择3门参加考试，共有多少种选科方式？

解：此即组合数，故有20种选科方式。

例2 由40个单位正方形拼成的长为8，宽为5的长方形组成一个8×5棋盘（如图），那么从一个顶点到最远顶点的最短路的条数有多少？3

解：最短路的选择可以看作是由8条单位横线段与5条单位纵线段排列；这等价于从13条线段中选择8条作为横线段，其余5条作为纵线段，此即组合数。故最短路共有1287条。

例3 设一个凸八边形中的任意三条对角线都不交于一点，求：由多边形的边与对角线围成的三角形的个数。3

解：通过分类讨论，所求三角形可以分为以下四类。

① 三角形的三顶点均为原多边形的顶点。显然此类三角形有

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