矩阵乘法为高等数学理论线性代数中的关键概念，其定义了两个矩阵生成第三个矩阵的一种定义在矩阵上的二元运算。一般矩阵乘法是最基本的矩阵乘法，其要求第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。它们的乘积定义为一个新矩阵，新矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。一般矩阵乘法除此之外，还有哈达玛积、克罗内克积等特殊乘积形式。矩阵乘法在数学、信息科学、工程科学等领域应用广泛。

定义

每当谈及矩阵乘法，若不加特殊说明，则常常指的是一般矩阵乘法。下面给出一般矩阵乘法的定义。

一般矩阵乘法的定义

矩阵乘法常常指的是一般矩阵乘法。设矩阵令。其中，那么矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB或C=AB。为方便，称被乘数A为左矩阵，乘数B为右矩阵。

**注意事项：**1

· 只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘。

· 乘积矩阵第i行第j列处的元素等于左矩阵的第i行与右矩阵的第j列对应元素乘积之和，即。

· 乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。

计算示例：

设，,下面计算：

矩阵数乘的定义

矩阵数量乘法即一个数量（或称纯量乘法、标量乘法）与矩阵相乘的运算。设矩阵以及一个数量（一般用小写字母表示），那么矩阵与数量 的乘积为。1

计算示例：

设,下面计算：

==

矩阵乘法的性质

基本性质

设A为（即m行n列）的矩阵，k为常数，矩阵B，C是能够使得对应条目中矩阵乘法成立的某两个矩阵。下面的性质并不局限于一般矩阵乘法，是所有矩阵乘法均应满足的性质。

1.（结合律）

2.（左分配律）

3.（右分配律）

4.（矩阵乘法的幺元）

5.（对于数乘的分配律）

**注：**行数与列数相同的矩阵称为方阵，这个行数或者列数称为方阵的阶，同阶方阵之间可以相加、相乘，方阵也可以与数量相乘。而上述乘法的若干基本性质，连同矩阵加法的若干性质，说明矩阵的加法和乘法满足结合律和分配律。如果将全体阶实方阵构成的集合记为，则上的加法和乘法满足环的公理，即构成一个环。同时数乘满足，这说明集合在上述运算下为 上的代数，如果将替换为其他的域(或环)，如复数域，也是相同的道理。2

一般矩阵乘法的特殊性质

若考虑矩阵乘法为一般矩阵乘法，则矩阵乘法还具有下述特殊性质：

1. （矩阵乘积的秩）2

2. （矩阵乘积的迹）

3. （矩阵乘积的转置）

4. **（矩阵乘积的伴随）**若矩阵和为同阶方阵，那么

5. **（矩阵乘积的逆）**若矩阵和可逆，那么

6. **（矩阵乘积的行列式）**若矩阵和为同阶方阵，那么

7. **（复矩阵乘积的共轭）**若矩阵和均为复矩阵，那么

8. **（复矩阵乘积的共轭转置）**若矩阵 和 均为复矩阵，那么

特殊矩阵的乘积

对于某些特殊矩阵，其一般矩阵乘积同样可能会具有一些特殊性质：

1.**（上/下三角矩阵）**两个同阶上（下）三角矩阵的乘积仍然为一个上（下）三角矩阵。

2.**（对称矩阵）**两个同阶对称矩阵或两个同阶斜对称矩阵的乘积为一个对称矩阵的充要条件是这两个矩阵可交换。

3.（斜对称矩阵**）**两个同阶斜对称矩阵(设为和)的乘积不一定为一个斜对称矩阵，但仍然为一个斜对称矩阵。另外， 斜对称的充要条件为。

4.**（正交矩阵）**两个同阶正交矩阵的乘积仍然为正交矩阵。

5.（酉矩阵**）**两个同阶酉矩阵的乘积仍然为酉矩阵。

6.**（辛矩阵）**两个同阶辛矩阵的乘积仍然为辛矩阵。

7.**（随机矩阵）**两个同阶行（列）随机矩阵的乘积仍然为行（列）随机矩阵。

8.**（正定矩阵）**两个同阶正定矩阵的乘积仍然为正定矩阵的充要条件为这两个正定矩阵可交换。

一般矩阵乘法的注意事项与基本用途

一般矩阵乘法往往不具有交换律

在上述定义下的一般矩阵乘法往往并不具有交换律。设A为 的矩阵，B 为 的矩阵，如果矩阵乘法具有交换律，那么就有 成立，但是观察如下例子发现，该条件不总是成立的：1

来源: 百度百科

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