导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作 f’(x0) 或df(x0)/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f，x→f’(x)也是一个函数，称作f的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定义

一般定义

设函数在点x0的某邻域内有定义，若极限

存在，则称f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作。

令，，则上式可改写为1

若函数在区间（在端点上只考虑单侧导数）上的每一点都可导，这样就定义了一个在上的函数，称为f在上的导函数，也简称导数，记作，即1

导数的几何意义

当函数的定义域和值域都是ℝ的子集时，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。设在点的切线斜率是k，正是割线斜率在时的极限：

所以曲线在点处的切线方程是1：

导数与微分

导数的另一个更加详细（但比较晦涩）的定义（与前面完全等价）如下：

考虑定义在集合上的函数，若该函数在的极限点处存在一个关于自变量的增量的线性函数，使得当时，函数的增量表示成：

该线性函数叫做函数f在点a的微分，表示的数值不为0，但与x-a相比是无穷小量2。

注：极限点的定义如下：

点称为集合的极限点，，如果对于点a的任意邻域，集合是无限集2。

由于函数在一点的微分是唯一确定的，可以推出：

定义为函数f在点a处的导数2。

若函数可微，其微分等于导数乘以自变量的微分。换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此导数也叫作微商。对于一元函数来说，函数可微与可导是完全等价的。

导数的记号

从微积分发明至今，数学家们曾使用过不同的记号来表示函数的导数。部分记号至今仍然使用，成为现代的通用记法。

牛顿的记号

作为微积分的发明人之一，牛顿将导数用函数符号上方的点来表示。例如的导数就记作，而二阶导数则记为3。在牛顿的记法中没有明确自变量，因此y对x的导数在牛顿的著作中也会被记成，因为这可以理解为两个函数y对x对于另一个变量t的导数比3。而这个导数比（使用莱布尼兹的记号）为：

牛顿的记号多见于物理学或与之有关的方面。在一些物理学教材中仍会使用函数符号上加一点来表示某一变量的变化率（如使用来表示加速度等）。

牛顿的记法难以管理高阶导数（4阶或更高阶），并且无法处理多个独立变量。

莱布尼茨的记号

一个今天经常使用的记号是莱布尼茨记号。令，按照莱布尼茨的记号其导数写作。用表示n阶的导数（这是导数算子的一个缩写），比如4。莱布尼茨符号的一个好处是在分母中明确了微分的自变量，另一个好处是便于记忆导数的运算法则，如链式法则用莱布尼茨的符号就是1：

拉格朗日的记号

拉格朗日的记号是在函数的右上角加一短撇表示导数。例如的导数就记作或。2阶和3阶导数记为，和，。如果需要处理更高阶的导数，则用、

来源: 百度百科

内容资源由项目单位提供