1983年中央电视台举办的春节晚会上，提出了一个有趣的谜语：镜子里照人(打一字)。

谜底是“入”字。这个谜语说明了一个道理：看问题的角度不同，结论就不同。这正如苏轼诗所说：“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。”在函数关系y=f(x)中,我们把x看作自变量，y=f(x)依赖x而变化，如果把y看成自变量，x=f-1(y)就是依赖y变化的函数了。这里y=f(x)与x=f-1(y)互为反函数，它们表明两个变量之间相互依赖关系的正反两个方面3。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

定义

设函数的定义域为，值域为,，中有且只有一个值, 使得。若将当作自变量，当作因变量，得到，称为函数的反函数，而叫做直接函数。反函数的定义域为，值域为。此时，当然也是的反函数，即和互为反函数；前者的定义域和后者的值域相同，前者的值域和后者的定义域相同1。

注(1)：由于在习惯上用x表示自变量，y表示因变量，故将中的x与y进行对换，的反函数就变成。这里与是表示同一函数的，因为表示函数对应法则的字母“”没有改变，仅自变量与因变量的字母变了1。

注(2)：与反函数表示同一图形，而与反函数的图形对称于直线1。这是因为，如果设是的图像上任意一点，即。根据反函数的定义，有，即点在反函数的图像上。而点和关于直线对称，由的任意性可知和关于对称。

于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看作是反函数的一个几何定义。

注(3)：反函数与原函数的复合函数等于，即：

若一个函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）2。

发展简史

函数概念的提出

“函数”这个词用作数学的术语，最早是德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出的。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function”一词，翻译成汉语的意思就是“函数”。它指的是关于曲线上某点的一些线段的长，如“横坐标”“纵坐标”“弦”“切线”“法线”等概念。18世纪，法国数学家让·勒朗·达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，认为所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。1837年，德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）进一步给出函数的定义为：对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个或多个确定的值，那么叫做的函数4。

反函数概念的提出

反函数的概念最早可以追溯到17世纪的欧洲数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Adrien-Marie Legendre），他首先提出了函数的反函数的概念，并通过对称图形来描述反函数和原函数之间的关系5。同一时期，英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和德国的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立地发现了微积分学，并在此基础上做出了对反函数的重要贡献。艾萨克·牛顿将反函数的研究与微积分相结合，提出了一种求解反函数的方法，即牛顿法。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨则通过引入导数和微分的概念，对反函数进行了更加系统和深入的研究6。19世纪，高斯对反函数的研究进行了推进。他提出了一个重要的定理，即反函数存在的充分必要条件是原函数为单调函数，这个定理为反函数存在性定理，为后来对反函数的研究奠定了基础，也为函数论的发展做出了重要贡献7。

存在性

概述

对于任意一个函数来说，不一定有反函数。只有在函数的定义域与值域之间建立了一一映射关系的前提下，函数才存在反函数[1]。即：

1. 单射：陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次，不然其反函数必将元素映射到超过一个的值上去。
2. 满射：陪域上的每一元素都必须被f映射到，不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。

注意：一一映射的函数，其反函数是单值函数。如一次函数、指数函数、对数函数等等。不是一一映射的函数，其反函数则具有多值性如正弦函数对于的一个从-1到1中的确定值，有无数个确定值与它对应，如时，有无数值：（是任何整数）和对应。为了避免多值函数，我们现定反三角函数的主值。例如，把反正弦函数的主值记为：，它的定义域是[-1，1]，值域即主值区间是。这样就限制了与之间满足一一映射的关系3。

若为一实变函数，则若有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在图上的水平线必对所有实数，通过且只通过一次2。

反函数存在定理

定理8：设函数在某区间内严格单调增加（或减少），又设与这个相对应的值域是

来源: 百度百科

内容资源由项目单位提供