傅里叶变换是一个在数学、物理、计算机、工程等各领域均有广泛应用价值的数学运算。它由傅里叶级数推广而来，描述了函数中包含的不同频率的正弦或余弦函数的振幅。在特定的函数空间内，函数的傅里叶变换具有良好的性质，例如可以完成微分和多项式乘积的互化、函数卷积和乘积的互化等，从而可以用于解决偏微分方程、范数控制、证明不等式等。

傅里叶变换在数学以外的领域也有广泛的应用，例如量子力学中可以用傅里叶变换研究波函数。由此衍生而来的离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、拉普拉斯变换等也具有重要的应用价值。

定义

对于满足条件的定义在上的函数，其傅里叶变换被定义为

其中是虚数单位；指数项中的为内积，对于，，有。函数的傅里叶变换被记为或，是定义在上的函数。本词条接下来将遵循该定义方式。

特别地，当时，是一个一元函数，此时其傅里叶变换为

需要注意，有时因为应用场景或个人习惯不同，在不同领域、不同文献中，傅里叶变换的定义之间会相差一些常数，例如有时在积分号前添加常数，在指数项中添加常数。1这些差异会导致傅里叶变换的性质发生一些细节上的变化，例如一些公式会因此相差常数倍数。

傅里叶变换是可逆的。傅里叶逆变换被定义为

显然，傅里叶变换与傅里叶逆变换都是线性的。

从物理的角度来说，给定一个随时间变化的信号，对其作傅里叶变换，得到的即为该信号的频谱；变换前后分别从时间和频率两个方面描述了信号。傅里叶变换后，在某处的取值越高，说明信号含有该处对应频率的信号越多。

发展简史

法国数学家傅里叶（Jcan-BaptisteFourier）在1822年发表的《热的解析理论》中，汇总了此前零散的三角级数方法，提出了“将任意函数展开为三角级数”的理论，并将其应用于热方程的求解。最初该方法用于分段连续的周期函数，并在后来拓展为定义在实数上的函数，由此引出了傅里叶变换。2

傅里叶变换有着鲜明的物理背景：光、电、声等的波形的傅里叶变换即为其频谱。3物理意义与实际的联系使得傅里叶变换的理论得以应用于各种学科。

函数空间

傅里叶变换一般在下列函数空间中考虑。

绝对可积函数空间

该函数空间的定义如下：

对于绝对可积的函数，其傅里叶变换是一个连续函数，且在无穷远处的极限为零。这一结果被称为黎曼-勒贝格定理。

定理1 如果，那么其傅里叶变换

因此，绝对可积函数的傅里叶变换是具有充分意义的。

平方可积函数空间

在空间中的函数的傅里叶变换具有更好的性质，该函数空间的定义为：

其中的为函数在空间下的范数。类似地有空间：

空间中的傅里叶变换是一个连续、等距、可逆的映射。

平方可积函数空间本身是一个希尔伯特空间(Hilbertspace)，而三角函数系给出了其上的一组正交基，故其上的傅里叶级数与傅里叶变换更早被提出和研究。

定理2 空间在中稠密

这意味着平方可积但不绝对可积的函数可以由一族中的函数列逼近，其傅里叶变换可以由此延拓至空间。

在空间中的傅里叶变换满足普朗歇尔公式（Plancherel Formula）：

定理3 对于，其傅里叶变换，且

平方可积函数空间中的傅里叶变换还满足帕塞瓦尔公式（Parseval Formula）：

定理4 如果，那么它们的内积与傅里叶变换的内积满足

如果利用，那么可以合理将傅里叶变换推广至空间中，再用对偶的方式推广至空间中的傅里叶变换。

施瓦茨空间

施瓦茨(Schwartz)空间又称速降函数空间，其定义为：

其中为光滑（任意阶可导）函数空间。显然，故在施瓦茨空间上的傅里叶变换的定义是合理的。事实上该包含关系是稠密的，所以傅里叶变换可以由此延拓至更广的空间。

定理5 在中稠密

傅里叶变换是施瓦茨空间上的一个等距的线性自同构。1

缓增函数空间

缓增函数空间是施瓦茨空间的对偶空间，其内任意一个元素都是一个广义函数。对于给定的，其上的傅里叶变换被定义为：

对于任意的，有：

傅里叶变换也是缓增函数空间上的一个线性自同构。1

计算举例

部分重要函数的傅里叶变换如下：

例1 函数

的傅里叶变换。

解：由傅里叶变换的定义：

这表明高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数。

例2 函数

的傅里叶变换

来源: 百度百科

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