图虫创意

这是一张普通的A4纸，对折一次厚度翻倍，面积减半。再对折一次，厚度再次翻倍，面积再次减半。以此类推，你能够对折多少次？

A4纸说大不大，说小也不小，这么大的一张纸，对折下去虽然越来越小越不容易对折，但是对折个十几下似乎不成问题。然而，实际上，一张普通的A4纸，对折很难超过7次。7次难道是折纸界中的宇宙规则上限吗？这个宇宙的规则究竟是什么，能否突破这个规则限制？

假设原始的长、宽、厚分别是a、b、t，对折n次后，三者尺寸变化如下表。表中可以看到，每对折一次，长或宽都会在上一次的基础上减半，厚度在上一次的基础上翻倍，它们之间存在着一个2n的幂次方关系。

这个2n的幂次方就代表着尺寸关系变化非常快。有很多的小故事都与这个2n的幂次方相关。比如工资问题：第一天给你1分，第二天开始每天翻倍，一个月后总工资超过了1千万元。比如国王的棋盘米粒问题：第一格1粒米，后面都翻倍，结果64格放完，整个王国甚至整个世界都被掏空了。

回到折纸问题，当折到第n次时，而厚度变成了原来的2n倍。一张A4纸约0.1mm，那么仅仅需要对折42次，厚度达到了439805km，已经超过了地月的平均距离384403.9km。也就是说对折了42次的A4纸，已经冲出地球了。而只需要对折58次，就可以冲出太阳系（直径约300亿千米），冲出银河系（直径约16万光年）也仅需要对折83次。照这么对折下去，根本就不需要嫦娥六号了啊。这么明显的一个大bug，自然有宇宙规则来限制，这个规则就是力学与材料。

现实中，普通A4纸通常只能对折7次，七次过后，其长、宽、厚的理论尺寸分别是：18.6mm、26.3mm、12.8mm。按照这个尺寸，厚度12.8mm是最小尺寸，再对折1次似乎没什么难度。当厚度变为25.6mm时，厚度方向的尺寸已经远大于原来的长宽尺寸了，此时不容易弯折比较容易理解。然而，实际上，宇宙规则更早地介入了。对折完7次之后，整个折纸外观上显得比较“拧巴”，有很多地方出现了翘曲，纸张层与层之间缝隙较大。此时，想要再折第8次，非常困难。这到底如何解释呢？

第一个原因在于力的规则。折纸次数的增加，被折物体越来越小，厚度越来越大。从力学上来说，尺寸越小、厚度越大的物体，其弯折的力更大。一方面，尺寸的缩小，使得作用力产生的弯矩变得更小。想要掰弯，就需要更大的力。这方面相信同学们都比较容易理解。另一方面，厚度的增加，则让这段叠合纸张的刚度变得更大，也就是更加不易变形。刚度与横截面密切相关，厚度的增加，指数级地增加了截面的惯性矩I，从而增加了刚度。

第二个原因在于尺寸的规则。聪明的同学从A4纸中发现了一些端倪：如果A4纸变得更薄一些，那么对折后的纸也会薄一些，而其他尺寸却不变，那么根据力的规则，更薄的叠合纸段刚度更低，也就比较容易弯折了。确实如此，如果你用更薄的餐巾纸对折，那么对折8次很轻松。但是，纸的厚度无法持续减薄，于是相对地选用更大尺寸的纸张，同样可以解决这个问题。据报道，吉尼斯的记录是12次，用了一张1200多米的长纸条。2012年，美国德克萨斯州圣马克中学的学生们用一张长度超过4千米的纸对折了13次，可惜不知为何没被吉尼斯承认。著名的留言终结者团队，将纸张拼接成55*75m的大纸，在压路机的帮助下，最终折出了11次。

第三个原因在于结构的规则。纸张对折后堆叠成一块，整体就形成了一种类似于层合板的结构。这种层间不粘结的结构，弯折之后内层基本不变，而外层则会被拉长。越厚，外层被拉的越长。这也是为何越厚需要的外力越大的原因。如果各层完全独立，仅靠摩擦力作用，它将不足以抵抗弯折力，弯折后产生层间滑移。但是对于完整的纸，折痕处相互连接，这种折痕连接力再加上层间摩擦力，使得层间不易滑动，需要更大的力来克服。甚至，当足够厚之后，弯曲产生的外层纸张拉扯力会超过纸张的抗拉极限，出现破纸，挑战失败。另外，普通的A4纸单层也有一定的结构性，这也是为什么更软的餐巾纸可以对折更多次。如果是同样柔软的薄薄的丝绸，那也一定可以轻松超过7次。

对折的倍增关系可能会突破你的想象，对折不超百次就可轻松冲出银河系。但是宇宙的规则却限制了A4纸的对折极限，随着对折次数的增加，由于力臂的减小和折痕连接力的增多，所需要的外力也急剧增加，想要折的更多，那么需要更薄更软更大的平面材料才行。

本文为科普中国·创作培育计划扶持作品

作者：王小胖

审核：周晓亮 北交大物理实验室高级工程师

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

来源: 星空计划

内容资源由项目单位提供