概念

数学中，粘性解是20世纪80年代早期由Pierre-Louis Lions和Michael Crandall作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation），differential game中（Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem）[1]，还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的1。

经典的概念是在域中PDE

有解，如果我们能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每个点都满足上面的等式。

定义

在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上不存在，即u中存在扭结（kink）但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上可能不存在，但可以使用下面定义的上微分（superdifferential）和下微分（subdifferential）代替2。

定义1：

定义2：

一般地，集合中的每个p是u在x0"斜率"（slope）的一个上界，集合中每个p是u在x0"斜率"（slope）的一个下界。

定义3：连续函数u是上面PDE的一个粘性上解（viscosity supersolution），如果满足

定义4：连续函数u是上面PDE的一个粘性下解，如果满足

定义5：连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

来源: 百度百科

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