定义

设p,q,r∈[1,∞]，。对任意S∈与T∈，有ST∈，与

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离散的不等式

不等式定义

设 ， 。令 和 是非负实数。1那么

等号成立条件

仅当 中至少有一个为零数列或者 ，且，使得 ,2

**证明：**记,则式子

即

因为f(x)=lnx(x>0)是向上凸函数（因为)，由加权Jensen不等式，可得

所以

把上式对i到m求和 得：

从而命题得证。

连续的不等式

假设 ， 。如果 ， ，那么

离散形式

(有限和和无穷和)

内容

设 或 为实数或复数列，a叫做多重指标，令

满足条件的p，q称为共轭指数，q=1是规定p=∞,

若1≤p≤∞，则

**若0<p<1，**则不等号反向。2

成立条件

1<p<∞时， ,且 成立2

积分形式

内容

设p、q为共轭指数，令

若

当时， ,且

即， …………………… ①

………… …………②

若*0<p<1,*则不等号方向改变3

成立条件

时，仅当，使得 和 在E上几乎处处成立时①式成立

p=1时，仅当 ，使得 a.e.(almost everywhere)于E，且 时， ②式成立2

证明

如果||f||p= 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，可以假设||f||p>0且||g||q>0。

如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q= 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，还可以假设p,q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f||p||g||q，可以假设：

现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当时 等式成立。

因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f||p= ||g||q= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有 。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得：

来源: 百度百科

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