公式

用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设 是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设 是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设 为 模 的数论倒数( 为 模 意义下的逆元)

方程组 的通解形式为

在模 的意义下，方程组 只有一个解：

证明：

从假设可知，对任何 ，由于 ，所以 这说明存在整数 使得 这样的 叫做 模 的数论倒数。考察乘积 可知：

所以 满足：

这说明 就是方程组 的一个解。

另外，假设 和 都是方程组 的解，那么：

而 两两互质，这说明 整除 . 所以方程组 的任何两个解之间必然相差 的整数倍。而另一方面， 是一个解，同时所有形式为：

的整数也是方程组 的解。所以方程组所有的解的集合就是：

文献

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。

在西方，与《孙子算经》同类的算法，最早见于1202年意大利数学家斐波那契的《算经》。1801年，德国数学家高斯的《算术探究》中，才明确写出了这一问题的求法。3

交换环上推广

主理想整环

设R是一个主理想整环，m1, m2, ... , mk是其中的k个元素，并且两两互质。令M m1m2...mn为这些元素的乘积，那么可以定义一个从商环R/MR映射到环乘积R/m1R × … × R/mkR的同态：

并且 是一个环同构。因此 的逆映射也存在。而这个逆映射的构造方式就如同中国剩余定理构造一元线性同余方程组的解一样。由于mi和Mi=M/mi互质，所以存在si和ti使得

而映射

就是 的逆映射。

也是一个主理想整环。将以上的R换成 ，就能得到中国剩余定理。因为

一般的交换环

设R是一个有单位元的交换环，I1,I2, ... ,Ik是为环 的理想，并且当 时

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