条件

如果数列的各项是由一个****等差数列和一个****等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和Sn可用此法来求和2。

举例

【典例】：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)·xn-1（x≠0，n∈N*）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1

∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn

两式相减得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn

化简得

解题应用

错位相减法是数列求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。

典例1：

求和：Sn=a+2a2+3a3+…+nan(a≠0,n∈N*)

分析：分a=1，a≠1两种情况求解，当a=1时为等差数列易求；当a≠1时利用错位相减法即可求得。

解：

(1)当a=1时， ；

(2)当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan……①

①×a得，aSn= a2+2a3+3a4+……+nan+1 ……②

①-②得，(1-a)Sn=a+(2-1)a2+(3-2)a3+(4-3)a4……+(n-n+1)an-nan+1

(1-a)Sn=a+a2+a3+a4+……+an-nan+1=a(1-an)/(1-a) -nan+1

∴

综上所述，

当a=1时， ；

当a≠1时， ．

典例2：

求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……..+(2n-1)·xn-1（x≠0,n∈N*）

解：

当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n2

当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+……..+(2n-1)xn-1

∴xSn=x+3x2+5x3+7x4……..+(2n-1)xn

∴两式相减得：(1－x)Sn=1+2x[1+x+x2+x3+...+xn-2]-(2n-1)xn

化简得：

典例3：

求和：

解：

①

①两边同时乘以

②

①-②得：

典例4：

已知数列{an}中，a1=3，点(an，an+1)在直线y=x+2上。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=an`3n，求数列{bn}的前n项和Tn。

解：

(1)∵点（an,an+1)在直线y=x+2上

∴an+1=an+2,即an+1-an=2

∴数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列

∴an=3+2(n-1)=2n+1

(2)∵bn=an·3n

∴bn=(2n+1)·3n

∴Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n ①

3Tn=3×32+5×33+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1 ②

由①-②得

-2Tn=3×3+2(32+33+…+3n)-(2n+1)·3n+1

=9+2×9(1-3n-1)/(1-3)-(2n+1)·3n+1

=-2n·3n+1

∴Tn=n·3n+1

公式的推导

以下进行一切通项公式为等差乘等比( )型数列的求和公式推导3：

已知数列 的通项公式为

求其前 项和

因为

用上式减下式，得

应用等比数列求和公式可得

两边均乘 得

展开整理得

最终得到

错位相减法并非差比数列的专属求和方法；当｛bn｝和是公比为q(q≠1)的等比数列时，只要｛an｝使得｛cn・bn ｝(其an- an-1= cn-1，n≥2，n∈N*)的前n项和能求出来，就可以用错位相减法求｛an・bn ｝的和；用错位相减法求和时，可以在和式两边乘不是公比且不等于1的非零实数。4

来源: 百度百科

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