释义

关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线 代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式 求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷2。

用极坐标方法

椭圆极坐标方程是：

其中e是椭圆离心率，p是焦点到对应准线的距离， 是弦与x轴所夹的角度

所以你要求的那个弦长就是

椭圆弦长公式

若直线过焦点并知道倾斜角，则还可以使用

设直线,（k为常数，且k≠0）与椭圆相交于A、B两点。5

推导

设直线y=kx+b

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，

设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)

则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]

把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,

则有：

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]

=│x1-x2│ √ (1+k²) 同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0;）

直线：Ax+By+C=0;

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1;

求直线和椭圆的交点：

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0;

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2);

n=2*B*C;

p=C^2-A^2*a^2;

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2);

n1=2*AC;

p1=C^2-B^2*b^2;

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m;

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m13

延伸

此公式适用于所有圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）4

椭圆：

(1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

(2)设直线；与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为k，则

双曲线：

(1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则l=-2a±2ex

(2)设直线；与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为k，则

同上

抛物线：

(1)焦点弦：已知抛物线,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则

或{为弦AB的倾斜角}

(2)设直线；与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为k，则同上

来源: 百度百科

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