起源

双曲函数概述17世纪数学家雅可比·伯努力提出：两端系于两个固定点的均匀绳索，在仅受共自身重力的作用下形成的曲线是什么曲线？他本人和伽里略起初都误认为是一条抛物线，但是，雅可比·伯努力及其他数学家随后用微分方程推导出的曲线方程却为 y=a/2(e x/a+e-x/a)并称之为悬链线。其方程当a=1时为双曲余弦函数。 由悬链线方程我们看到它是由指数函数e^x和e-x表示出的。由于指数函数y=e^x具有的独特性质,因此由e^x和e-x表示出的函数在高等数学和科学技术中具有广泛的应用，其中一类就是双曲函数。6

定义

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义1

双曲正弦：

双曲余弦：

双曲正切：

双曲余切：

双曲正割：

双曲余割：

双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2- y^2= 1。这基于了很容易验证的恒等式

参数 t 是双曲角,它表示由原点到双曲线上的点的矢径与 x 轴的夹角（弧度）,主值区间为 （-π/4,π/4）,其绝对值等于双曲扇形面积 S(比单位面积 ab=a∧2=1∧2) 的两倍。

函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。

函数性质

y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。1

y=cosh x，定义域：R，值域：[1,+∞)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。

y=tanh x，定义域：R，值域：(-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线y=1和y=-1之间。

y=coth x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y||y|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。

y=sech x，定义域：R，值域：(0,1]，偶函数，最高点是(0,1)，函数在(0,+∞)严格单调递减，(-∞,0)严格单调递增。x轴是其渐近线。

y=csch x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y|y≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴。

与三角函数关系

双曲函数与三角函数有如下的关系：2

恒等式

与双曲函数有关的恒等式如下：1

加法公式

减法公式

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

，正负由x/2决定。

导数

不定积分

级数表示

其他级数可根据双曲函数与三角函数的关系，用ix代替x（有些函数需要再乘以i或-i）即可。

实际应用

双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。3

阻力落体

在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。3

解：

小石块遵循的运动方程为

mdv/dt=mg― （1）

这是Riccati方程，它可以精确求解。

依标准变换方式，设

v=（m/μ）/（z′/z） （2）

代入（1）式，再作化简，有

z'' ―（gμ /m)z=0 （3）

（3）式的通解是

z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）（4）

其中，C1和C2是任意常数。

由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为

v（0）=0 （5）

这等价于

z′（0）=0 （6）

因此，容易定出

C2=C1 （7）

将（7）式代入（4）式，再将（4）式代入（2）式，就可得

满足初始条件的解

v=√mg/μ tanh（√μg/m t) （8）

我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。

导线电容

真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2，中心线相距为d(d >R1+R2）。试求它们间单位长度的电容。3

解：设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。

我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是：

由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。

以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。这偶极线所产生的电势便为

φ=φ1+φ2

=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2）

=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （1）

式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（1）式便化为

φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （2）

由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是

φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （3）

故偶极线的等势面方程便为

[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （4）

式中k2 =e4πε0φ/λ （5）

令c=[（k2+1）/（k2―1）]a （6）

则（4）式可化为

（x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （7）

这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为

R=∣2k/（k2―1） ∣a （8）

这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了：

a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （9）

R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （10）

a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （11）

R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （12）

d=a1+a2 （13）

由（9）至（13）式得

a12―R12=a2= a22―R22 （14）

原来两导线表面的方程是

R1：（x―a1）2+y2= R12 （15）

R2：（x+a2）2+y2= R22 （16）

利用（14）式，可以把（15）和（16）式分别化为

x2+y2+ a2= 2a1 x （17）

x2+y

来源: 百度百科

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