定义

子集

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。1

即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。1可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。23

真子集定义

如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⫋B。空集是任何非空集合的真子集。

**非空真子集：**如果集合A⫋B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。2

真子集与子集的区别：

• 子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
• 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。1

举例

• 所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集；所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集（即N⫋Z）；{1, 3} ⫋ {1, 2, 3, 4}，{1, 2, 3} ⫋ {1, 2, 3, 4}； ∅ ⫋ {∅}。但不能说{1, 2, 3} ⫋ {1, 2, 3}。2
• 设全集I为{1, 2, 3}，则它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅；而它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。1

有关命题

命题1：若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2n，且有2n-1个真子集，2n-2个非空真子集。1

**证明：**设元素编号为1, 2, ... n，每个子集对应一个长度为n的二进制数（规定数的第 i 位为1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5}，则{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111，{e2,e3,e4} ↔ 01110，{e4} ↔ 00010）。即其子集为00...0（n个0） ~ 11...1（n个1）。易知一共有2n个数，因此对应2n个子集。去掉11...1（即表示原来的集合A）则有2n-1个真子集，再去掉00...0（表示空集）则有2n-2个非空真子集。4

命题2：空集是任意集合的子集。

**证明：**给定任意集合A，要证明∅是A 的子集。这要求给出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅没有元素。

对有经验的数学家们来说，推论 “∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 换一种思维将有所帮助，为了证明∅不是A 的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A 的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。4

命题3：若 A，B，C是集合，则：

自反性: A⊆A，反对称性: A⊆ B且 B⊆ A，当且仅当A= B，传递性: 若 A⊆ B且 B⊆ C则 A⊆ C。这个命题说明：对任意集合 S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题4：若 A，B，C是集合 S的子集，则：4

存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A⊆ S（ ∅⊆A由命题2给出）。存在并运算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C则 A∪B⊆ C存在交运算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B则 C⊆ A∩B。这个命题说明：表述 "A⊆ B" 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。3

命题5: 对任意两个集合 A和 B，下列表述等价：A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B=∅ B′ ⊆ A′。2

符号

集合思想起源很早，但是集合论作为一门学科是19世纪末、20世纪初才开始发展起来的，为奠定科学集合论做出重要贡献的是著名数学家康托尔（G.Cantor，1845-1918）。他的思想曾在数学界引起很大的争议，在集合论的大论战中，有些数学家创造了集合中使用的有关符号。其中“∈”、“⊂”、“⊆ ”、符号是意大利数学家皮亚诺（G.Peano,1858-1932）首先使用的。他用“∈”表示属于关系，如a是集合A的元素，他记为a∈A如B⊂A表示集合B真包含于A或B是A的真子集。至于a不属于A的元素记号，a∉A则是后来人延伸创用的。5

来源: 百度百科

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