定理简介

中线定理（pappus定理），又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。2

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设是I线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

AB2+AC2=2BI2+2AI2

或作AB2+AC2=（1/2）BC²+2AI²

古希腊几何学家、天文学家阿波罗尼(奥)斯 (P．Apollonius，公元前 262一前 190)是欧几里得 (Euclid，公元前330～前275)的门徒，他对几何学的醒目贡献是把欧几里得的《圆锥曲线》完善为新专著《圆锥曲线论》；他提出的“中线定理”， 迄今也有实用价值。4

证明

中线定理即为斯图尔特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四种比较容易理解的方法。

第一种

如图1，在△ ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB2+AC2=(BC)2+2AI2

以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图1所示的平面直角坐标系。设A点坐标为（m，n），B点坐标为（-a，0），则C点坐标为（a，0）。

过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D（m，0），E（0，n）。

由勾股定理可得

AO²=m²+n²,

AB²=(a-m)²+n²=a²-2am+m²+n²,

AC²=(a+m)²+n²=a²+2am+m²+n².

∴AB²+AC²=a²+2am+m²+n²+a²-2am+m²+n²

=2a²+2m²+2n²=2a²+2(m²+n²)

又∵AO²=m²+n²,

∴AB²+AC²=2a²+2AO²

又∵B（-a，0），C（a，0）,

∴a=BC

∴a²=BC²

∴2a²=2·BC²=BC²

∴AB²+AC²=BC²+2AO²=BC²+2AI².

第二种

如图2，利用余弦定理来证明。

第三种

如图3，AI是△ABC的中线，AH是高线。利用勾股定理来证明。3

在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²

同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²

并且BI=CI

那么，AB²+AC²

=2AH²+BH²+CH²

=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²

=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH

=2AI²+2BI²

第四种

向量法证明中线定理。

如图4，AI是△ABC的中线，分别取向量、、 、 、。

则

注意到并且

∴得

另一个结论

在以上讨论中，通过两式相减，还可以得到**|AB^2-AC^2|=2BC*IH**。 （H为垂足）

来源: 百度百科

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