定义

斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和。

由来

在数学历史上，欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契(L．Fibonacci，1170一1250)。他早年就随其父在北非师从阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后写成《算经[xq2] 》，也翻译成《算盘书》。这部很有名的著作主要是一些源自古代中国、印度和希腊的数学问题的汇集，内容涉及整数和分数算法、开方法、二次和三次方程以及不定方程。特别是，在1228年的《算经》修订版上载有如下“兔子问题”：3

如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄 一[xq3] 雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个 月[xq4] 以后便能每月生一对小兔子.假定[xq5] 这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少 对[xq6] 兔子呢？ 解释说明为：一个月[xq7] ：只有一对兔子；第二个月： 仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子， 共有 1+1=2 对兔子.第四个月[xq8] ：最初的一对兔子又生一对兔 子，共有 2+1=3 对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的 对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， ……，后 人[xq9] 为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契， 将这个兔子数 列[xq10] 称为斐波那契数列， 即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34……这样的数列称为斐波那契数列。4

通项公式

递推公式

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…… ，以如下被以递归的方法定义：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，显然这是一个线性递推数列。

通项公式内容

⑴

如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。且由上式得到的值必为正整数。5

注：此时

⑵

通项公式推导

（1）方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

解得：

则：

由公式

得：

解得

（2）方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数，

使得

则

时，有：

联立以上个式子，得：

上式可化简得：

那么：

（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。

， 的解为，

则

（3）方法三：待定系数法构造等比数列（初等代数解法）

设

得

构造方程

解得

所以：

由(1)、(2)式得：

令：

化简可得：

（4）方法四：母函数法

对于斐波那契数列，有:（）

令

那么有：

因此.

不难证明：

因此

再利用展开式

于是就可以得

其中

因此可以得到：

特性

平方与前后项

从第二项开始（构成一个新数列，第一项为1，第二项为2，……），每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。

如：第二项 1 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 2 的积 2 少 1，第三项 2 的平方比它的前一项 1 和它的后一项 3 的积 3 多 1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项 1 开始数，第 4 项 5 是奇数，但它是偶数项，如果认为 5 是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）

证明经计算可得：

与集合子集数量的关系

斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合中所有不包含相邻正整数的子集个数。

奇数项求和

来源: 百度百科

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