今天给大家讲一个物理学里面的经济原则——最小作用原理。这个经济原理也反映在我们老祖宗的智慧里，就是《道德经》里的那句“大道甚夷，而民好径”。

我们得从光学现象讲起。在古希腊的时候， 欧几里得就总结出了镜面反射定律，所谓的入射角等于反射角。后来，亚历山大城的希律又认识到，光束之所以有这样的行为应该是说它想走一条最短的路。

用今天的数学，如果我们把从A 点出发，经过一个反射点到达B点的这个路径长度的函数写出来的话，路径长度关于入射点坐标的微分 (为零)能够得到的条件，就是 . 这就是我们所说的反射定律。

后来，人们又关注到了光的折射现象。如果从一种介质中的A 点出发、经过入射点到达另一种介质中的B点，这个路径长度函数写出来，求它关于这个入射点坐标的微分(为零)的话，我们就能够得出路径最短的条件，就是. 这就是所谓的折射定律。

我们看，折射定律和反射定律都能够统一到一个路径最短的原则，我们就可以想到它可能具有某种普适性。现在给大家讲一个和光学没关系的例子。我们设想，有一个小和尚从庙里出来，担着桶到河边去取水，然后去浇菜园，在两段路径上桶的质(重)量是不一样的。用这个质(重)量作为权重的路径，就是从A点到河边、再从河边到菜园这两段距离之和，我们求它的最短条件的话，就能够得出一个公式。

这就是刚才的反射和折射定律的某种混合。这告诉我们大家，路径最短的规律可能是具有某种普适性。

我们现在再看力学问题。到了17世纪，伽利略已经给出了落体定律，牛顿也给出了牛顿第二定律。但是呢，对于许多的力学问题，还都应该专门考虑。比方说，我们考虑从A点下落到达B点的这样一个小球，它用时最短的路径该是什么样子的？我们也可以考察一个静力学问题。在两点上悬挂的一根链条，它平衡时的构型是什么样的? 关于悬挂的链条，即悬链线问题，它的经济原理呢，我们认为在这样的构型下它整体的势能最小。也就是说，我们可以把势能写成它这条链条形状的一个积分的形式，求它的最小值的条件，就能够得到悬链的形状。

配图来自图虫网

这里面呢，就引入一个很复杂的问题，就是关于函数的函数。如何求关于函数的函数的极值问题，其实蛮难的。1696年，约翰 ∙ 贝努里就向全世界发出了英雄帖，求解这个速降线问题。他的兄弟，雅各布 ∙ 贝努里就为此发展出了求函数的函数的极值的这样一个数学方法，就是关于微分方法的一个发展——变分法。

至此呢，我们看到，就是说，关于这样的一些运动也好，或者说是静止状态的构型也好，都是求关于构型或者路径的某个函数的积分它最小的条件。这样的一个函数，它的形式我们可能是不知道的。它的积分要想是极值的话，它就应该满足这个著名方程，就是欧拉-拉格朗日方程。当然事情没有这么简单啦，有时候它还要满足其它的条件。比方说关于悬链线的话，就要要求满足悬链线长度不变这样的条件。

不管怎么着，现在大家意识到了， 就是说，我们的物理规律可能是满足某种经济原则，就是使得某个量最小。到了1741-1746年的时候呢，法国科学家莫珀蒂呢就总结出了，说运动都要满足一个定律，就是最小作用原理。

既然是满足最小作用原理，这个作用到底长什么样子，他就给出了一个例子，说一个自由粒子的运动，这个运动的action, 或者effort, 就应该是等于质量乘上它的速度，再乘上它的位移，对整个路径的积分。这样的一个作用形式到底合理不合理呢？那我们只要看一看一个大胖子跑步，你就会理解了它是多么合理。一个大胖子跑步，他的努力当然是正比于他的体重，正比于他的速度，再乘上他的位移 ，对整个路径的积分。 当然这是一个简单的情形。

如果考察粒子在一个势场里的运动的话，英国科学家哈密顿就总结出了，说整个作用应该是一个拉格朗日函数对时间的积分，而拉格朗日函数就是在质点的动能减去它的势能。这样最小作用的原理具有非常恢弘的意义。我们可以把它从质点推广到场，就是用它来处理电磁场和引力场的问题。

对于电磁现象，我们只要写出电磁场的拉格朗日量，用最小作用原理就可以得到它的方程；对于引力问题，如果我们写出引力场的拉格朗日量 ，我们也能够通过最小作用原理得到这个引力场的方程。从这个最小作用原理对这个拉格朗日量的要求，也就是欧拉-拉格朗日方程，很明显我们看到，如果拉格朗日量不是坐标的显函数的话，就能够得到一个守恒律。

1918年，著名的女数学家艾米∙诺特就想到，如果这个拉格朗日量还有很多隐藏的对称性的话，是不是也能够构造出相应的守恒量。于是乎就有了这篇著名的“不变的变分原理”这篇文章，人类社会从此才有了真正的理论物理。最小作用原理最后又进一步发展。我们看，最小作用原理是从相互作用出发，构造出拉格朗日量，从拉格朗日量去导出它的守恒律。我们是不是也可以反其道而行之 ，从实验得出的关于某些物理现象的守恒律去才是它的对称性，从而构造相应的拉格朗日量，然后再利用最小作用原理来研究这种相互作用，这就是理论物理后期的对称性决定相互作用的阶段。

至于什么是最小作用原理呢？我可以总结一下，就是说关于这个世界“凡所表现，皆为极端”。当然，最小作用原理是一个非常博大精深的一门学问，很难在这么短的篇幅内给大家解释清楚。

在最后，我提醒大家注意一个西方语言里的词：理解。 在英语里是comprehend, 在法语里可能是comprehendre, 但是呢，它的字面意思是“一起拿”。什么意思呢？ 就是如果我想让你给我拿十个足球过来，你可能做不到；但是如果再给你一个网兜，你把这些球装一起，你就能够拿过来了。最小作用原理就是那种让人一把能够拿起许多知识的原则，是一种原理之上的原理。期望大家在日后的物理学习中 能够多关注一下最小作用原理的内容。

本文为科普中国·星空计划扶持作品

作者：曹则贤

审核：罗会仟

出品：中国科协科普部

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来源: 星空计划

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