在本系列的第一篇文章里，我们讲过高斯通过他发明的数学工具（最小二乘估计法）计算出谷神星位置而声名鹊起的故事。

我们来看看，能否通过数学工具来优化一个锤子，让我们用这个锤子敲钉子最省力气。

如何对一个锤子进行公式化描述

在与计算机相关的很多领域的科学研究中，数学被大量使用。这一事实的表现之一，就是研究人员会有意识地对任何问题进行公式化描述。

什么是公式化描述呢，我举个例子。这里面要涉及一些数学知识，如果你觉得它实在难以理解也可以直接跳过这个例子。

我想要把钉子钉进地板，现在打算设计一个锤子，让一个人在完成这个任务时耗费的能量最小。

图片来源：图虫创意

公式化描述把这个问题变成一个数学问题。我们知道耗费的能量和人做的功有关，因此首先要计算出一个人把钉子敲进地板时所做的功到底是多少。

我们假设锤子的质量为m，每次敲击锤子时，锤子最后落在钉子上的一瞬间的速度为v。人每次从举起锤子开始到敲击钉子为止的过程中做的功为W，W和锤子的质量m，以及锤子敲击钉子的速度v有关，根据动量定理，我们有：

我们来看看每敲击一锤子人做的功W能让钉子进去多少。钉子进入地板，需要克服阻力做功。根据功的定义：

其中F是锤子对钉子施加的作用力，可以看成钉子进入地板时受到的摩擦阻力，而Δx是在克服阻力时钉子移动的距离。注意，摩擦阻力F是随着钉子进入地板的长度的增加而增加的（钉子进入得越深，受到的阻力越大）。

假设第一次敲击后，钉子进入地板的长度为X1（见图 10-1）。钉子刚刚接触地板时受到的摩擦阻力为0，而进入X1 长度时受到的摩擦阻力为kx1，其中k是摩擦系数，与地板的材质与钉子的光滑程度有关。那么在这个过程中，钉子平均受到的阻力为：

这样，根据公式（10.1），第一次敲击后锤子对钉子做的功就可以写成：

因此当这一次人做了 W 的功时，会使钉子进入地板的长度为：

第二次再锤钉子时，我们假设人以同样的速度挥动锤子，那么人对锤子做的功W不变，在这种情况下，假设钉子的深度从X1达到了X2，此时钉子进入地板的长度为 ∆x= X2-X1，其间受到的平均阻力为 F =½k（X1+X2）。那么这次敲击后锤子对钉子做的功，根据公式（10.1）可以写成：

W=F∆x=½k（X1+X2）（X2-X1）=½k（x22-x12）

因此当这一次人做了W的功时，钉子进入地板的长度为：

以此类推，我们可以知道，在第n次敲击以后，钉子可以达到的深度 xn 为：

如何优化一个锤子

有了这个表达式以后，我们就可以对锤子进行优化了。我们假设一个人每次挥动锤子的速度固定为v，钉子的长度为L，把钉子完全钉入地板需要敲击n次，那么n对应的xn 需要满足：

xn≥L

注意 xn 的表达式由公式（10.4）决定，这是要满足的限制条件。

在该限制条件下，我们需要让人做的总功最小。人挥动n次锤子，做的功总量为：

这样，我们就有了一个对整个问题的公式化描述：

这个表达式的意思是，在满足xn≥L这个限制的条件下，我们要找到一个最优的锤子质量m，让最后的做功总量W总最小。

将公式化描述展开，可以写成：

注意到，我们假设人挥动锤子的速度v，以及钉子的摩擦系数k都是常数。这样，第一个公式有我们需要优化的变量，即锤子的质量m，还有一个附属的需要决定的变量，即敲击次数 n。我们需要找一个最优的质量m，在满足的条件下，让½nmv2最小，那么该如何找到呢？

首先，我们把nm放在一起，根据限制条件，可以知道：

因此 W总一定满足：

所以，人把一个长为L的钉子敲击进地板，做的最小的功就是½kL2，这发生在的时候。

因此，我们可以发现，只要设置其中n为任意整数，那么最后所消耗的能量就可以达到最小，这个最小值为：

从上面的推导中可以看出，要想公式化描述问题，我们需要有一个或多个优化目标（这个例子里是人消耗的总能量），以及被优化的变量（这个例子里是锤子的质量）。

通过上面这一系列复杂的公式化描述，我们设计出了一个最优的锤子。但是，如果你仔细想想，这个锤子真的是通过上面公式化描述设计出来的吗？

选择大于努力，设计锤子也是

虽然我们洋洋洒洒推导出来了锤子的最优重量和长度，但往往被大部分人忽略的是，公式化描述只是对锤子的这两个参数进行了优化，这只是设计的第二阶段，而第一阶段“选择锤子”对这个任务来说是最重要的。

如果你选择的工具不好，比如你选择一根木棍、一把斧头或一个扳手来做敲钉子这件事情，那么在使用这些工具的基础上，即使公式化描述做得再好，优化到极致，也只能产生事倍功半的效果。

此外，上述的公式化描述对锤子进行优化的程度是有限的。

第一，优化是基于大量的假设实现的。这些假设包括：（1）使用不同质量的锤子时，人们每次敲击的速度v一样；（2）每次敲击都正好可以敲到钉子上，等等。这些假设在现实中并不完全成立。

第二，优化只针对锤子的质量这一方面。而锤子最重要、最实用的特点，包括锤头的形状、大小，锤柄的形状，等等，无法通过优化实现。

第三，在很多情况下，优化带来的提升并不大。在这个例子中，当m不按照这个最优值来设计时，最差情况下多耗费的能量½mv2很小，就是多敲击一次的能量。

简单来说，我们用了那么多篇幅，通过这么多公式推导进行的优化，其实没那么重要，很多情况下第二阶段“优化”的重要性都不如第一阶段的“选择”。

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作者：北京航空航天大学副教授、博士生导师 刘雪峰

审核：华中师范大学数学与统计学学院 副教授 邓清泉

来源: 星空计划

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