一个在大城市的市中心附近上班的年轻人在买房时通常会面临两个痛苦的选择：到底是买市区的小房子，还是买远郊的大房子？

市区的小房子上班方便，但“老破小”，要牺牲一定的生活舒适度；远郊的大房子宽敞明亮，，但通勤时间成本高，上下班要辛苦些。

如果用“卷积”的数学思维来看这个问题，你就不会这么纠结了。

频繁的小确幸与偶尔的大幸福

在现实生活中，我们经常听到一个词叫作“小确幸”。小确幸这个词源于村上春树的随笔集，是指生活中经常发生的“微小但确切的幸福”。村上春树在文章中提及，当他把洗涤过的洁净内衣卷好、整齐地放在抽屉中时，他就感觉到了小确幸。

生活中有很多这样的小确幸：你一按电梯，电梯门就开了，并且正好一个朋友从电梯里出来；你开车时，你所处的那条车道最顺畅；你走在路边，突然发现路旁的树已经冒出绿芽；想妈妈了，刚要给她打电话，她的电话就打了过来；突然发现自己放在购物车里很久没舍得买的化妆品降价了；运动后洗完澡，躺在沙发上感觉自己浑身毛孔都打开了，等等。

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这些小确幸就是生活中小小的幸运与快乐，只要你仔细观察、体会，永远都能发现它们。

与小确幸对应的是所谓的“大幸福”。这些大幸福包括通过了各个重要的考试（中考、高考、研究生考试等），买彩票中奖，通过博士答辩，升职加薪，结婚生子，等等。正所谓人生有四喜：“久旱逢甘雨，他乡遇故知，洞房花烛夜，金榜题名时。”这些都是大幸福。

从频率上来说，“大幸福”在一段时间内的发生次数肯定比“小确幸”少得多，但带来的愉悦感也肯定比“小确幸”更大。问题是，偶尔的大幸福和频繁的小确幸，哪种更能使我们感到幸福？

要想科学地回答这个问题，我们要理解一个名为“卷积”的概念。

用“卷积”解释频繁的小确幸和偶尔的大幸福

“卷积”是控制系统、信号处理领域的核心概念之一，现在比较前沿的卷积神经网络中也用到了这一概念。

卷积的目的是刻画一个系统对于外界输入的反应。

例如，身体不舒服时吃药，所吃的“药”是输入，你的身体是系统，而你的身体变化，就是你的身体这一系统对于“药”的输出。

你走在路上时，不小心滑了一下扭了脚，然后脚肿了。在这个例子中，系统是你的脚，“扭了脚”是输入，而你的脚肿了，就是脚这个系统对输入的输出。

背单词也是如此。在你背一个单词时，“背单词”这个动作就是一个输入，你的大脑是系统，而这个单词在你大脑中的记忆程度就是你的大脑对于该输入的输出。

我们可以发现，在上面的例子中，输入都是某种与脉冲类似的“刺激”。这种单次的刺激在控制系统中被称为“冲激函数”（impulse）。而系统受到冲激函数作用后的输出通常呈这样一种模式：从零开始升高，到达最高点后慢慢下降至零。

比如，背单词的这个行为，相当于对你的大脑进行了一次冲激输入。你的大脑迅速开始记忆，并在短时间内留下深刻印象。但是这个印象会随着时间的流逝而逐渐变淡，直到你把这个单词全忘了。

这种模式也是现实中绝大部分系统对于外界刺激的响应模式。

现在的问题是，如果输入并不像上文例子中那样是一次性的刺激，而会持续一段时间，那么此时系统的输出会是怎样的呢？图4-6展示了系统对连续输入的输出。

卷积公式其实告诉了我们这样的道理：系统对于一个脉冲序列的响应，就是其对单独每个脉冲输入的响应的叠加。

我们可以用卷积说明大幸福和小确幸对你的幸福感的影响。

当你遇见一件让你开心的事情时（不管是大幸福还是小确幸），这件事就是上一节中的冲激函数，它作用在“你”这个系统上，会让你产生幸福感。

大幸福对应的冲激函数比小确幸对应的冲激函数高得多，带来的刺激也更强烈，因此大幸福给你带来的幸福感的最高点更高，并且持续的时间更长。

单次的大幸福肯定比单次的小确幸更让你产生幸福感。大幸福毕竟很少见，一个人一生可能都没有几次；而小确幸却可以经常发生。

我们来看一下频繁发生的小确幸会让你产生什么样的幸福感。

图4-8显示了一连串频繁发生的小确幸会让你产生的幸福感。我们可以看出，虽然每个小确幸只产生一个很小的幸福感，但根据卷积公式，系统对于一系列输入的输出即其对单独每个刺激的响应的叠加。因为每个小确幸离得很近，相邻的小确幸产生的幸福感在叠加后，会让你整体的幸福感一直处于比较高的水平。

虽然大幸福每次产生的幸福感比小确幸高得多，但是这种幸福感维持的时间并不算长。更重要的是，因为间隔时间太久，所以你的幸福感仅在大幸福到来时很高，而在中间漫长的过程中，你的幸福感一直很低，这个过程见图 4-9。

对比图 4-8 和图 4-9 我们可以清楚地看出：

频繁的小确幸，能比偶尔的大幸福带来更多幸福感。

到底是买市区的小房子，还是买远郊的大房子？

回到开头的问题：一个在大城市的市中心附近上班的年轻人在买房时通常会面临两个痛苦的选择：到底是买市区的小房子，还是买远郊的大房子？

这个问题也可以用卷积的思想分析。

如果他买了远郊的大房子，他会在刚住进去的一段时间内感受到“大幸福”。但是因为大房子在远郊，所以他需要每天花很长时间在单位和住所之间往返。这个痛苦虽然不大，却是实实在在每天都要承受的，这些每天发生的“小痛苦”叠加起来，会让他的幸福感非常低。

至于市区的小房子，虽然刚住进去他会觉得不习惯，但是之后适应了，就不会觉得房子太小了。这只是一个持续期很短的“大痛苦”。但随之而来的，是每天他都可以省下大量的通勤时间，他不用起那么早，有充足的睡眠时间，下班后也可以有很多时间用来锻炼、看书、做想做的事情。这些“小确幸”每天叠加起来，会让他的幸福感一直处于较高的水平。

所以说，如果要选择，应该买市区的小房子，而不是远郊的大房子。

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作者：北京航空航天大学副教授、博士生导师 刘雪峰

审核：华中师范大学数学与统计学学院 副教授 邓清泉

来源: 星空计划

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