作者：M67

审核：中科院应用数学所 副研究员 王彬

你对概率问题的直觉有多准？能不能不⽤计算，仅凭直觉就猜出，哪种情况出现的概率更⼤，哪种情况出现的概率更⼩？

来试着猜测下⾯五个问题的答案，测试⼀下你的概率直觉吧！

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【如果你猜对了0道题】从概率的⾓度来讲，所有题都猜错和所有题都猜对同样困难。如果你⼀道题都没猜对的话，这说明你和那些全对的⼈有着同样不可思议的超能⼒。

【如果你猜对了1~2道题】你对概率的直觉并不准，甚⾄有时候会被表⾯现象所误导。那些精⼼设计的赌博游戏，或许能让你不断相信⾃⼰能赢。今后可要牢牢记住⼀句话：远离赌博。

【如果你猜对了3~4道题】你对概率的直觉是很可靠的，可以轻易看出赌博游戏中的骗局。同时，你对概率的直觉还能进⼀步提⾼。在⽣活中多多观察，多多体验，这有助于提升你这⽅⾯的能⼒。

【如果你猜对了5道题】你对概率的判断有着超群的准确性。在⾯对⽣活中的各种抉择时，这种能⼒或许会对你有所帮助。另⼀⽅⾯，你的数学直觉也是不可⼩觑的，如果你还年轻，或许未来会成为⼤数学家哦！

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那么，马上开始挑战吧！

【题⽬1】把1, 2, 3, ..., 9这9个数字随便排成⼀排。那么，下⾯哪种情况的概率更⼤⼀些？

A. 有相邻的数字挨在⼀起。

B. 没有相邻的数字挨在⼀起。

【题⽬2】圆周上等间距地分布着100个点。随便选择两个点连⼀条线段，再随便选择另外两个点连⼀条线段。那么，下⾯哪种情况的概率更⼤⼀些？

A. 两条线段相交。

B. 两条线段不相交。

【题⽬3】桌⼦上有10封信，每封信都有⼀个对应的信封。你随便把这10封信装进了这10个信封⾥，使得每个信封⾥都有⼀封信。那么，下⾯哪种情况的概率更⼤⼀些？

A. 每封信都装错了。

B. ⾄少有⼀封信装对了。

【题⽬4】某市发⾏了两种彩票。第⼀种彩票的规则是，从13个数⾥选择6个数（不能重复选），如果你选的这6个数和开奖开出的6个数完全相同（顺序可以不同），就算你中奖；第⼆种彩票的规则是，从14个数⾥选择5个数（不能重复选），如果你选的这5个数和开奖开出的5 个数完全相同（顺序可以不同），就算你中奖。那么，买哪种彩票中奖的概率更⼤⼀些？

A. 第⼀种彩票。

B. 第⼆种彩票。

【题⽬5】⼀副扑克牌⾥有52张牌，⾥⾯有⿊桃、红⼼、梅花、⽅片共四种花⾊，每种花⾊都有A, 2, 3, ..., 10, J, Q, K共13个不同的点数。从⼀副洗好的牌⾥随便摸出五张。那么，下⾯哪种情况的概率更⼤⼀些？

A. 五张牌的点数相连（例如五张牌分别是7、8、9、10、J）。

B. 五张牌的花⾊相同（例如五张牌都是⿊桃）。

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题目到此为止，马上要公布答案咯。选好答案再继续往下看吧↓

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这5道题的答案分别为ABBAA，你猜对了几个？

如果要⽤数学⽅法准确地得出这5个问题的答案，这并非⼀件容易的事情。有些问题的完整解答过程需要⽤到初中、⾼中甚⾄⼤学的数学知识。虽然如此，我们还是可以简单说说这些答案都是怎么来的。

题⽬1，把1, 2, 3, ..., 9这9个数字排成⼀排，这⼀共有1×2×3×...×9=362880种不同的⽅案。这⾥⾯有多少种⽅案满⾜，相邻的数字都没有挨着呢？利⽤⼀些比较复杂的⽅法，我们可以算出，这个数⽬为47622。这个数⽬远远⼩于362880的⼀半，因此有相邻的数字挨在⼀起的概率更⼤⼀些。答案是A。

题⽬2的答案是B。随便选择四个点，把这四个点连成两条线的⽅案只有三种，其中只有⼀种⽅案会导致连线相交。所以，两条线会相交的概率永远等于1/3，它与圆周上的点数⽆关。事实上，即使去掉“等间距分布”这个条件，答案也是不变的。

题⽬3的答案是B。把10封信装进10个信封，这⼀共有1×2×3×...×10=3628800种不同的⽅案。这⾥⾯有多少种⽅案满⾜，每⼀封信都装错了呢？这个问题叫作“错排问题”（derangement problem）。利⽤容斥原理可以得出，答案为1334961。由于这个数⽬不到3628800的⼀半，因此全装错了的概率低于1/2。反过来，⾄少有⼀封信装对了的概率就⾼于1/2了。这个问题是由法国数学家⽪耶·⿊蒙·德蒙⻢特（Pierre Raymond de Montmort）在1708年提出的。

题⽬4的答案是A。从13个数⾥选出6个数⼀共有1716种不同的⽅案，中奖的概率就是1/1716；从14个数⾥选出5个数⼀共有2002种不同的⽅案，中奖的概率就算1/2002。所以，第⼀种彩票中奖的概率更⼤⼀些。在数学中，我们需要经常⾯对这样的问题：从⼀⼤堆东⻄⾥⾯不重复地选出其中的若⼲个，⼀共究竟有多少种⽅案。为此，数学家们建立了“组合数”（combination）的理论，它成为了数学中最重要的概念之⼀。

题⽬5的答案是A。经过计算，五张牌的点数相连的概率⼤约为0.355%，五张牌的花⾊相同的概率则⼤约为0.198%。因此，在⼀般的扑克牌游戏中，我们都规定，同花比顺⼦更⼤⼀些。

什么，你想看看这两个概率的计算公式？没有问题。五张牌形成顺⼦的概率是(9×4^⁵)/C(52,

5)=192/54145，五张牌形成同花的概率是(C(13, 5)×4)/C(52, 5)=33/16660。这⾥，符号C表⽰的就是组合数。

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来源: 星空计划

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