作者：M67

审核：中科院应用数学所 副研究员 王彬

负数不但在⽣活中有实际的应⽤，在纯数学领域中也扮演着重要的⾓⾊。为了更加⽅便、美观、统⼀地解决某些数学问题，数学家们成功地把各种看上去绝不可能涉及到负数的概念推⼴到了负数上。今天就来看看数学家是如何把负数“玩”起来的。

# 3的-1****次⽅等于多少？

把n个相同的数全都乘起来，得到的结果就叫做这个数的n次⽅。举个例⼦，3的5次⽅等于多少呢？为此，我们需要算出5个3连乘起来的结果。由于3×3×3×3×3=243，因此3的5次⽅等于243。类似地，3的4次⽅就等于4个3乘在⼀起的结果，也就是81；3的3次⽅就等于3个3乘在⼀起的结果，也就是27；3的2次⽅就等于2个3乘在⼀起的结果，也就是9。

让我们思考⼀个稍微有些奇怪的问题：3的1次⽅该等于多少呢？根据定义，3的1次⽅就应该等于1个3乘在⼀起的结果，也就是3本⾝了。因此，很容易想到，3的1次⽅还是等于3。

让我们再思考⼀个更加奇怪的问题：3的0次⽅该等于多少呢？这个问题似乎没有意义。根据定义，3的0次⽅就应该等于0个3乘在⼀起的结果——但是，什么叫作0个3乘在⼀起呀？稍微多想⼀想，你或许会稍微悟出些什么：0个3乘在⼀起，意味着⼀种“初始情况”；在它基础上乘以3，就会变成1个3乘在⼀起。由于1个3乘在⼀起就是3，因此0个3乘在⼀起应该是1才对。所以，3的0次⽅等于1。

让我们把奇怪的问题继续延展下去，请再想想：3的-1次⽅该等于多少呢？这个问题看上去就完全没有任何意义了。根据定义，3的-1次⽅就应该等于-1个3乘在⼀起的结果，这话简直荒谬透顶嘛。

不过，别着急，我们完全可以参考刚才的⽅法，为这个不合理的问题提供⼀个非常合理的答案。3的-1 次⽅应该满⾜，再在它的基础上乘以⼀个3，就会变成3的0次⽅。乘以3等于1，所以，3的-1次⽅等于1/3。

是的，这正是数学家们的规定：⼀个数的-1次⽅，就等于这个数分之⼀。类似地，⼀个数的 -2 次⽅，就等于这个数的平⽅分之⼀。⼀个数的-n次⽅，就等于这个数的n次⽅分之⼀。

# 第**-2****个斐波那契数是多少？**

有这么⼀⾏数，第1个数是1，第2个数也是1，今后的每个数都等于前两个数之和。按照这个规则不断补出后⾯的数，就会得到：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

它们就是著名的斐波那契数列（Fibonacci numbers）。这是由13世纪的意⼤利数学家斐波那契先提出的。在数学中，斐波那契数⼗分常⽤，因此它有⼀个专⻔的记号。在⼤写字⺟F的右下⾓标上序号，就可以表⽰对应的斐波那契数。例如，第7个斐波那契数是13，就可以记作F7=13。

斐波那契数的序号也可以推⼴到0甚⾄负数。第0个斐波那契数是多少呢？容易想到，我们要做的，就是要在上述数列中再往前写⼀个数。为了让每个数都等于前两个数之和，再往前必须写⼀个0。因此，第0个斐波那契数就是0。

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

那么，第-1个斐波那契数是多少呢？容易想到，我们要做的，就是要在上述数列中再往前写⼀个数。为了让每个数都等于前两个数之和，再往前必须写⼀个1。因此，第-1个斐波那契数就是1。

1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

继续像这样算下去，可以得出，第-2、-3、-4、-5、-6、-7个斐波那契数分别是-1、2、-3、5、-8、13。你不妨⾃⼰验证⼀下。

发现什么规律了吗？没错，它们正好就是那些常规的斐波那契数，只不过变成了⼀正⼀负交替出现。

# 从**-3个⼈中选出2****个⼈有多少种⽅案？**

从10个⼈中选出2个⼈，⼀共有多少种可能的⽅案？不必⼀个情况⼀个情况地数，我们就能算出答案：45种。这是因为，我们可以先从10个⼈中选出1个⼈，再从剩余的9个⼈中选出1个⼈，这就有10×9=90种不同的⽅案。其中，先选我再选你和先选你再选我是本质相同的⽅案，在刚才的统计过程中被算重了。因此本质不同的⽅案只有90÷2=45种。

类似地，从n个⼈中选出2个⼈，⼀共就有n×(n-1)÷2种⽅案。

从3个⼈中选出2个⼈，⼀共有3×2÷2=3种⽅案。事实上也的确如此。从A、B、C中选出2个⼈，可以选A、B，可以选A、C，还可以选B、C，确实有3种⽅法。

从2个⼈中选出2个⼈，⼀共有2×1÷2=1种⽅案。事实上也的确如此——从2个⼈中选出2个⼈，就只有1种⽅法，就是全都选上。

从1个⼈中选出2个⼈呢？根据公式，我们⼀共有1×0÷1=0种⽅案。事实上也的确如此——从1 个⼈中选出2个⼈，这是不可能办到的。

接下来⼜要问奇怪的问题了：从-3个⼈中选出2个⼈呢？

这个问题显然毫⽆现实意义，但我们却能根据刚才的公式，给出⼀个答案来：我们⼀共有(-3)×(-4)÷2=6种⽅案，因此，数学家们规定，从-3个⼈中选出2个⼈，⼀共有6种⽅案。

可别以为这是数学家们发明的脑筋急转弯。在数学中，这是非常有⽤的。在组合数学中，从m 个物体中选出n个物体的⽅案数，就⽤C(m, n)来表⽰。利⽤这个记号，我们可以解决很多代数⽅⾯的问题。数学家们成功地把这⾥⾯的m推广到任意实数，可以是正数也可以是负数，让这种记号的威⼒变得更加强⼤。刚才我们看到的就是，C(-3, 2)=6。

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