对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数1。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。

性质基本知识① ；

② ；

③负数与零无对数.

④ * =1；

⑤；

恒等式及证明a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）推导：log(a) (a^N)=N恒等式证明

在a>0且a≠1，N>0时

设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)

则有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

证明完毕

运算法则①

②

③

(M,N∈R)

如果 ，则m为数a的自然对数，即 ，e=2.718281828…为自然对数

的底，其为无限不循环小数。定义： 若 则

基本性质：

1、

2、

3、

4、

5、

推导：

1、因为 ，代入则 ，即 。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

4、与（2）类似处理

由基本性质1(换掉M)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

或

由基本性质2（展开 ，如图所示）

基本性质4推广

推导如下： 由换底公式（见下面）[ 是 ，e称作自然对数的底]

换底公式的推导： 设 则

其中

得：

由基本性质4可得

再由换底公式

换底公式设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn) ①

对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m ②

对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn ③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)2

注：log(a)(b)表示以a为底b的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）3

推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

loge(x)=ln(x)

lg(x)=log10(x)

求导数(xlogax)'=logax+1/lna

其中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x4

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院