等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示1。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/22。注意： 以上整数。

一般定义

扩展:多项式数列

等差数列是多项式数列的特殊形式

例题1

例题2

例题3

证明

凯森和

多项式数列高阶和

凯森和可以如下表示

其他结论

首项：/末项-(项数-1)×公差

末项：

通项公式：

项数：

公差：

如：数列1,3,5,7,……,97,99 公差就是d=3-1=2 将推广到，则为：

a1,a2,a3....an,n=奇数，Sn=（a（（n-1）/2)）*((n-1）/2)3

特殊性质

1.在数列中,若,则有:

①若,则am+an=ap+aq.

②若m+n=2q,则am+an=2aq.

2.在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列4。

求和公式

设首项为, 末项为, 项数为, 公差为, 前项和为, 则有5：

①;

②;

③;

④, 其中..

当d≠0时，Sn是n的二次函数，（n，Sn）是二次函数的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。

注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院