辐角原理又称柯西辐角原理,是复变函数中的一个重要原理,即沿着闭曲线C正向绕行一周后辐角argf(z)的改变量除以2π等于f(z)在C的内部的零点和极点个数的差值。辐角原理可用于求解复变函数的零点或极点个数,也可用于求解方程f(z)=a的根的个数。在自动控制理论中,辐角原理作为奈奎斯特稳定判据的理论基础,用于判断单变量系统的稳定性。
对数留数积分 的值称为复变函数
的对数留数。
设C是一条闭曲线,若 符合条件:
1) 在C内部除可能的极点外解析,即
为亚纯函数;
2) 在C上解析且不为零,则有
其中 与
分别表示
在C的内部的零点和极点的个数(一个n级零点算作n个零点,而一个m级极点算作m个极点)。1
定义设复变函数
,当复平面Z上的z点沿闭曲线C的正向(逆时针)绕行一周时(如右图a),复平面W上的
点就相应地画出一条连续闭曲线Γ(如右图b)。
根据复变函数对数的定义,有
由右图以及上式可归纳出:
1)当Γ是一条包含原点的简单闭曲线时, 点沿Γ绕行一周,上式右端第1项的量没有变化,而第2项的量改变了
(逆时针绕行取正,顺时针取负);
2)当Γ曲线内不包含原点时,上式右端两项的改变量均为零。2
设C是一条闭曲线,定义 为z沿着曲线C的正向绕行一周后
的改变量。
由此可得辐角原理如下:
设D是闭曲线C所围成的区域,若(1) 在D内除可能的极点外解析,即为亚纯函数;(2)
在C上解析且不为零,则1
证明有牛顿-莱布尼茨公式可知:
再由
可知
得证。1
应用1)用于求解复变函数的零点或极点个数
2)用于求解方程的根的个数
3)在自动控制中,作为奈奎斯特稳定判据的理论基础(奈奎斯特稳定判据用于分析单变量系统的稳定性)
本词条内容贡献者为:
王海侠 - 副教授 - 南京理工大学