辐角原理又称柯西辐角原理，是复变函数中的一个重要原理，即沿着闭曲线C正向绕行一周后辐角argf(z)的改变量除以2π等于f(z)在C的内部的零点和极点个数的差值。辐角原理可用于求解复变函数的零点或极点个数，也可用于求解方程f(z)=a的根的个数。在自动控制理论中，辐角原理作为奈奎斯特稳定判据的理论基础，用于判断单变量系统的稳定性。

对数留数积分 的值称为复变函数 的对数留数。

设C是一条闭曲线，若 符合条件：

1） 在C内部除可能的极点外解析，即 为亚纯函数；

2） 在C上解析且不为零，则有

其中 与 分别表示 在C的内部的零点和极点的个数（一个n级零点算作n个零点，而一个m级极点算作m个极点）。1

定义设复变函数 ，当复平面Z上的z点沿闭曲线C的正向（逆时针）绕行一周时（如右图a），复平面W上的 点就相应地画出一条连续闭曲线Γ（如右图b）。

根据复变函数对数的定义，有

由右图以及上式可归纳出：

1）当Γ是一条包含原点的简单闭曲线时， 点沿Γ绕行一周，上式右端第1项的量没有变化，而第2项的量改变了 （逆时针绕行取正，顺时针取负）；

2）当Γ曲线内不包含原点时，上式右端两项的改变量均为零。2

设C是一条闭曲线，定义 为z沿着曲线C的正向绕行一周后 的改变量。

由此可得辐角原理如下：

设D是闭曲线C所围成的区域，若（1） 在D内除可能的极点外解析，即为亚纯函数；（2） 在C上解析且不为零，则1

证明有牛顿-莱布尼茨公式可知：

再由

可知

得证。1

应用1）用于求解复变函数的零点或极点个数

2）用于求解方程的根的个数

3）在自动控制中，作为奈奎斯特稳定判据的理论基础（奈奎斯特稳定判据用于分析单变量系统的稳定性）

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学