最简单的正交表是L4(23)，含意如下：“L”代表正交表；L 下角的数字“4”表示有 4 横行，简称行，即要做四次试验；括号内的指数“3”表示有3 纵列，简称列，即最多允许安排的因素是3 个；括号内的数“2”表示表的主要部分只有2 种数字，即因素有两种水平1与2。正交表的特点是其安排的试验方法具有均衡搭配特性。1

基本介绍正交表例如L9（34），表1-1， 它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8（41×24），表2-1 ，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… Sj 组成，这些数码均各出现n/Sj 次，例如表1-1中，第二列的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现3次。

表1-1

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表2-1

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主要性质1.正交表具有以下两项性质：

⑴每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。

⑵任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列（同一横行内）有序对子共有4种：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）。每种对数出现次数相等。在三水平情况下，任何两列（同一横行内）有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。

以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均匀分散性，整齐可比”。通俗的说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。

2.交互作用表 每一张正交表后都附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。下表就是L8（27）表的交互作用表。

表3-1

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实例正交表具有以下两个特点。正交表必须满足这两个特点，有一条不满足，就不是正交表。

1） 每列中不同数字出现的次数相等。这一特点表明每个因素的每个水平与其它因素的每个水平参与试验的几率是完全相同的，从而保证了在各个水平中最大限度地排除了其它因素水平的干扰，能有效地比较试验结果并找出最优的试验条件。

2） 在任意2列其横向组成的数字对中，每种数字对出现的次数相等。这个特点保证了试验点均匀地分散在因素与水平的完全组合之中，因此具有很强的代表性。

构造过程正交表的构造需要用到组合数学和概率学知识，而且如果正交表类型不同，则构造方法差异很大，甚至有些正交表其构造方法到目前还未解决。下面以正交表4-1为例，介绍一种L9[34]类型正交表的构造过程：

1）确定正交表的行和列

正交表4-1共有四个因素，每个因素有3个水平，共需安排9次试验。因此，正交表4-1是一个4列、9行的表。生成正交表的表头如表4-1所示。

表4-1

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2）确定正交表的内容

对每个因素的水平进行编号，分别为1、2、3，并将试验按照水平数3进行分组，即每三个试验为一组。

对于第一列：第一组试验中，全部使用因素1的第1个水平；第二组试验中，全部使用因素1的第2个水平；第三组试验中，全部使用因素1的第3个水平；

对于第二列：每一组试验中，都分别使用因素2的三个水平1、2、3；

对于第三列：每一项试验中，每一个水平编号的确定方法见公式ab；

对于第四列：每一项试验中，每一个水平编号的确定方法见公式a2b。

3）生成正交表。

将每因素的水平编号填入表中可得正交表如表5-1所示。

表5-1

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正交阵列(orthogonal array)

正交阵列是一类组合设计。

设 A 是 v 元集 X 上的 矩阵，若对任意 列所构成的子矩阵，X 上的每一个 d 元排列作为子矩阵的行各出现λ 次，则称 A 为大小 N，约束数 d，水平数 v，强度 d 和指数λ 的正交阵列。在试验设计中称正交表，记为。由定义有。

强度 2 的正交阵列记为，当λ=1 时简记为的存在性等价于横截设计 的存在性。 的存在性则等价于 k-2 个 v 阶相互正交拉丁方的存在性。2

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学