设给定一数集E，若存在m R，使得对于 x E，都有x m，则称m是集合E的一个下界。1

例：若E= ，不难验证只要m ，m就是集合E的一个下界。

一个数集可以由有限个数组成，也可以由无穷多个数组成，前者称为有限（数）集，后者称为无限（数）集。任何有限数集都有一个最小数，但对于无限数集来说就不一定有最小数了。例如，由一切x 1所组成的数集没有最小数；又如数集 ( )有最小数1/2.2

我们知道，有界数集有无穷多个下界。因而，对于有有界数集来说，如果它有最小数，那么这个最小数也是它的下界中的一个，并且比这个最小数大的任何数都不是它的下界，这时，这个最小数自然就是它的最大的下界。2

但在上面的例子中已经看到，对一般无限数集来讲不一定有最小数。然而，对于某些无限数集来说，最大的下界确实存在，这里暂时撇开最大下界的存在性，而对一般数集的最大下界给予确切的定义。2

设给定一数集E。若存在这样一个数 ，适合以下两个条件：

（i）集E中的一切数x (即 是E的一个下界)；

（ii）对任意给定的正数 ，至少存在一个数 ，使得 （即比 再大一点就不是下界）， 则 叫做E的下确界，记为 或 . 这里inf是infimum的缩写。

第一个条件说明 是E的下界之一，而第二个条件说明凡大于 的任何数都不是E的下界。也就是说 是E的最大下界。

注1 为方便起见，若E无下界，则记 .

注2 上面的条件（ii）等价于：如果 是E的一个下界，则必有 .1

定理 设数集有上（下）确界，则这上（下）确界是唯一的。2

证明：采用反证法。假设数集E有两个不同下确界 和 （ ），显然， 和 均为E的下界，由上面注2可知 且 ，故 . 与假设相矛盾！证毕。

定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界。2

证明3：用戴德金分割定理证明。

戴德金定理：对实数集R的任意一个满足不空、不漏、不乱的划分A和B，都存在唯一的一个分点 满足

记给定非空集为X。取定B为X的所有上界的集合，A=R\B. 下证A、B为不空、不漏、不乱的划分。

不空：由于X非空，可取 ，易知x-1不可能为X的上界，故A非空。B非空给定；

不漏：由A=R\B知 ；

不乱：设 ，则由 知 不是X的上界，即 ，但又由 是X的上界知 . 综上， 又 ，矛盾。不乱得证。

故存在唯一的一个分点 满足 下证分点为上确界，即 .

若不然， 不成立，则 ，但此时就有 ，由 知 ，与 是划分A和B的分点相矛盾。故 .

下确界同理。证毕。

定理 单调有界数列必有极限。2

证明：我们只就单调减少的有界数列予以证明。设 有界，则必有下确界 . 再设 是单调减少的，现在证明 恰好就是 的极限，即 .

由下确界的定义有（i） ；（ii）对任意给定的 ，在 中至少有一数 ，有 . 但由于 是单调减少数列，因此当 时，有 ，从而 . 也就是说，当 时，有

所以

这里不仅证明了单调有界数列的极限存在，而且也证明了如果它是单调减少的，则极限就是它的下确界。同样可证单调增加有界数列的极限存在，并且极限就是它的上确界。