定义

设 ，若对任意的点集 ，有 ，则称E为Lebesgue可测集，简称可测集。

注意事项如下：

（1）可测集的全体记为M，对于可测集E，称其外测度为测度，记为m(E)。

（2）称测度为零的可测集为零测集。空集、有限集、可数集皆为零测集。

（3）通常称定义中的条件为卡氏条件，称其中的集T为试验集。1

相关定理零集零集为可测集。2

证明：设E为零集，m*(E)=0，任意A⊂R，因为A∩E⊂E，所以有0≤m*(A∩E)≤m*(E)，得m*(A∩E)=0，于是

故E∈M。2

可测集的补集若E为可测集，则E的补集也是可测集。1

可测集的并集交集若A,B为可测集，则A∪B，A∩B，A\B皆为可测集。

证明：对任意 ，易得 ，依次利用外测度的次可加性、B的可测性（取 为试验集）以及A的可测性（取T为试验集），有：

且

故得到。

所以可知A∪B是可测集，从而是可测集，A\B=也是可测集。1

可数可加性若是互不相交的可测集列，则并集为可测集，且。

证明：对任意的，由外测度的次可加性等性质可知

所以是可测集，令，则有。1

可测集列的交与并（1）若是可测集列，则并集为可测集，且。1

（2）若是可测集列，则交集为可测集。1

（3）若有递增可测集列，则，此时对可测集的极限有定义。1

（4）若有递减可测集列，且，则，此时对可测集的极限有定义。1

（5）任一可测集均可以表示为一列递增的有界可测集之并。3

（6）任一可测集均可以表示为一列两两不交的有界可测集之并。3

可测集类第一类中的矩体是可测集。

证明：设矩体，对任意矩体，不妨设。记矩体，把分割成有限个互不相交的矩体之并：，则有，从而得到

此时易得，矩体S为可测集。1

第二类由中开集的构造可知，每个开集可写成可列个互不相交的半开半闭的矩体之并，故开集必为可测的。由此易得到如下结论：

开集、闭集、集、集、Borel集皆为可测集。1

可测集的等价刻画设，则下列条件等价：

（1）E是可测集；

（2）对任意ε>0，存在开集G⊃E，使m*(G\E)0，存在闭集F⊂E，使m*(E\F)