曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。

切向量是与曲线相切的向量,给定曲线C上一点P,Q是C上与P的邻近一点,当Q点沿曲线趋近于P时,割线PQ的极限位置称为曲线C在P点的切线1。

知识储备在定义切向量之前,首先给出光滑函数的定义。叙述中都将按国际非线性学术界表达惯例,向量将一律用白斜体字母表示2。

定义1 设A是 的一个开子集(即A内每点都可找到一个完全属于A的邻域), 是一个函数。f点z 的值记为 。如果f对 的任意阶偏导数存在且连续,则称函数f是 类函数(function of class ),简称f是一个 函数或称f是一个光滑函数(smooth function)。如果函数f是 的,且对任意指定点 ,存在 的一个邻域U,使对所有 ,f在 的Taylor级数展开式都收敛到 ,则称f是一个 函数或称f 是一个解析函数( analytic function)。

定义2 一流形N上有定义的所有光滑函数的集合,记为 。在流形N上一点p的邻域有定义的所有光滑函数的集合,记为 。2

定义设N是一个n维光滑子流形, 是在N上p点有定义的光滑函数集合, 是定义在 上的泛函(算子),如果v有下列性质(也称求导性质)2:

(1)线性性

(2)符合Leibnitz规则2

则称v是定义在流形N上某点p的一个切向量(tangent vector)。

相关概念介绍下面对以上定义作一些概念性说明2。

(1)流形(manifold)是拓扑学和微分几何中的重要概念。不过,为不涉及过多的数学基础,此处不准备作严格的定义。从概念上说,一个n维流形可理解为由多个同为n维的曲面(或超曲面)经拼接所得到的曲面(或超曲面)。

(2)流形的一个特征是,它的一个局域可以与一个n维欧氏空间之间建立起点与点间的一对一映射关系,它的每个局域可以分别与各自的一个n维欧氏空间之间建立起点与点间的一对一映射关系,并可在此基础上建立起通用于各局域的流形局部坐标系,从而变成可度量的( metrizable)。

(3)具有微分结构的流形被称为微分流形(differential manifold)。这里所说的微分结构,是指参与拼接的曲面(或超曲面)彼此拼接得是如此之好,以至于流形作为一整体与n维欧氏空间之间的映射能达到任意次可微的程度,即达到光滑的程度。因此微分流形也称为光滑流形(smooth manifold)或简称流形。微分流形可理解为是由多个同为n维的光滑曲面(或超曲面)经拼接所得到的光滑曲面(或超曲面),也就是有任意阶导数的n维曲面(或超曲面)。

(4)定义在流形N上的光滑函数 就是定义在流形N的局部坐标系上的函数。对于一个光滑流形而言,其各阶导数都存在。

(5)光滑函数 在某方向上的变化率,一般称为方向导数(directional derivative)。方向导数取值是一实数。算子v表示求方向导数的操作,故其映射关系可表示为

(6)求导的方向在函数 的定义域上表示,即指的是流形局部坐标平面(或超平面)上定的方向,而不是指在 曲面的切平面(或超切平面)上定的方向。

切向量和方向导数有密切关系,但这是两个不同的概念。切向量被定义为一个抽象的泛函(算子),指的是 至欧氏空间 的一个映射,而方向导数则指的是该映射的像值2。

例题解析(流形 上的切向量,切向量和方向导数的差异)设 是定义在 上的 (光滑)函数 在点x的方向导数(即 在定义域一定方向上的坡度或变化率)定义为2

式中, 是表示方向的系数。方向可以是给定的方向,也可以是某个体现函数 自身性质的方向。

比如, 在点x的梯度(gradient)被定义为向量

在点x的方向导数在此方向有最大坡度值 ,梯度方向是 上升最陡的方向,所体现的就是函数 自身的性质。

如果把式 改写成

**注:**其中中的三部分分别为切向量的基底、方向向量、光滑函数,这三部分组成一个切向量;为方向导数。

可见方向导数可拆成三部分。方向导数的前面两部分,即切向量的基底和方向向量合称为切向量。此切向量完全符合切向量定义。

方向的表示方法一般有两种。一种是用方向余弦向量表示,另一种是用方向数向量表示。切向量的方向一般都用后一种表示。方向数向量归一化后等于方向余弦向量。也可以说方向数向量等于方向余弦向量外乘一个常数。该常数表示向量的长度或大小。所以通常所说的方向向量不仅指方向,还可能包括其长度。切向量的方向和大小都是点的函数。在不同点上,不仅方向可能不同,而且外乘的常数(向量的长度)也可能会随之不同。尽管方向数向量有外乘常数,不仅表示方向,但为方便,以后仍将把它们和方向余弦向量一样看待,一律笼统地称为方向向量。2

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学