简介

平方根法又叫Cholesky分解法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。

我们知道，对于一般方阵，为了消除LU分解的局限性和误差的过分积累，而采用了选主元的方法。但对于对称正定矩阵而言，选主元却是完全不必要的。

定理及证明设A为一n阶对称正定矩阵，即A满足A^T=A且对任意的非零实系数向量z，都有z^TAz>0，则我们可以得出如下定理：2

Cholesky分解定理：若矩阵A对称正定，则存在一对角元为正数的下三角阵L，使得

A=LL^T

上式中的L又称为Cholesky因子。

证明：由于A对称正定表明A的全部顺序主子阵均正定，因此可知，存在一个单位下三角阵L'和一个上三角矩阵U，使A=L'U。令：

D=diag（u11,...,u1n）,U'=D^(-1)U

则有

U'^TDL'^T=A^T=A=L'DU'

从而

L'^TU'^(-1)=D^(-1)U'^(-T)L'D

上式左边是一个单位上三角矩阵，而右边是一个下三角矩阵，故两边均为单位矩阵。于是，U'=L'^T，从而A=L'DL'^T。由此可知，D的对角元均为正数。令

L=L'diag(,...,)

则A=LL^T，且L的对角元lii=>0，i=1,...,n 证毕。

应用若线性方程组Ax=b的系数矩阵是对称正定的，我们可按如下的步骤求其解：

1、求A的Cholesky分解：A=LL^T；

2、求解Ly=b得到y，

3、将y回代求解L^Tx=y得到x。

由以上定理的证明可知，Cholesky分解可用不选主元的Gauss消去法来实现。然而，更简单而实用的方法是通过直接比较A=LL^T两边的对应元素来计算L。设L为一下三角形实矩阵，其元素由（i为所在行，j为所在列）确定。

比较A=LL^T两边对应的元素，得关系

其中1ijn

首先，由=再由=得=/，i=2,...,n.

这样便得到了矩阵L的第一列元素。假定已经算出L的前k-1列元素，由

得

再由

其中i=k+1,...,n.

得

其中i=k+1,...,n.

这样便又求出了L的第k列元素。这种方法称为平方根法。当然，亦可按行来逐次计算L。由于A的元素被用来计算出以后不再使用，所以可将L的元素存储在A的对应位置上，这样我们就得到如下算法。

算法（正定矩阵的Cholesky分解）3

for k=1 ：n

for i=1:k-1

a[k][k]-=a[k][i]*a[k][i]

end

a[k][k]=sqrt(a[k][k])

for i=k+1:n

for j=1:k-1

a[I][k]-=a[i][j]*a[k][j]

end

a[i][k]/=a[k][k];

end

end

由以上可知，用平方根算法解对称正定线性方程组时，计算L的对角元素需用到开方运算。为了避免开方，我们可求A之如下形式的分解

A=LDL^T

其中L是单位下三角矩阵，D是对角均为正数的对角矩阵。这一分解称作LDL^T分解，是Cholesky分解的变形。比较上式两边对应元素得

其中1ijn.

由此可确定和的计算公式如下：

其中k=1,...,j-1,

其中i=j+1,...,n.

这里j=1,2,...,n.上述这种确定A的分解方法称作改进的平方根方法。实际计算时，是将L的严格下三角元素存储在A的对应位置上，而将D的对角元存储在A的对应的对角位置上，这样我们就得到如下的实用算法。

算法（计算LDL^T分解：改进的平方根法）

for(k=0;k